Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
- [(B 12 - В12) ^22 ¦- В 22-412] k33 -}- v12,
/?44 = - 2 (C12 - C12) ki4 - 2C22k24 - 2 [(B12 - В12) A22 - В22^12] k34 -
-
+ 2 [В22Лц- (B12 Bi2) /I12J ^44 + V22.
5.11. Написать уравнения для дисперсий и ковариаций координат линей ного
динамического гасителя колебаний задачи 1.15, пользуясь уравнениями
задачи 5.10. Показать, что при 6 = 0 для демпфера колебаний (сг = 0)
дисперсия процесса X (t) в режиме случайных стационарных колебаний
определяется формулой [126]
D г М^+(РГ + Р)ЙГ 2c2b,fil
5.12. Пользуясь уравнениями задачи 5.10, написать уравнения для дисперсий
и ковариаций процессов Yi(t) и У2 (!) при Аг1 = А22 = Л, И12 = 0, В11 =
522 = В, В12=0, В12 = Н, v11 = v22 = v, v12 = 0. Проверить, что решения
этих уравнений при нулевых начальных условиях определяются формулами:
а) при Сц = Ci2 = C22 = Cl2 = 0
ku = k22 = At, ki3 - k2i =Л/2, ki2 = k3i = 0, кы =-к23 = НЛ/2В, k33 = k4i
= v/2AB,
A = v/(tf2-f В2);
б) при Ci2 = Cl2 = 0, Сц = С22 = Вр
kn = k22 - v/2BPp, k33 = k44 = v/2AB, kj/ = 0 (/-¦/);
в) при C11 = C12 = C22 = 0, С'12 - К (BH > AK)
кц = k22 = ByJ2K, k33 == k44 - kH I A, к a = ki3 - k24 = k34 - 0, кщ - -
k23 - x/2, x = v/(B#- AK).
''-^.13. Показать, что уравнения (28) для стационарной линейной системы
задачи 1.9 при Q = IV, где / - постоянная тхя-матрица, V - п-мерный белый
шум интенсивности v, имеют вид
Кц = А-Ч(пАгКпА-\
Ki2 = A-1K22-Ku (С-С^-КцА-1 (В-В'),
К21 = К22А-1~-(С + С')Кц~(В + В') Л-1/С21,
/С22 = - (С+С') К12-К21 (С -С') -(В + В') А-1^- К22А-1 (В-В') + Мт,
где Кц и К22 - ковариационные матрицы векторов канонических переменных Zi
= q, Z2 - р, а блоки К12 и К21 - взаимные ковариационные матрицы Zi и Z2.
Рассмотреть частные случаи: а) С = С' = 0, В=2вА; б) С = С = 0, В = г\С;
в) | С | < 0, В=2еА.
ЗАДАЧИ
335
5.14. Основываясь на уравнениях задачи 5.13, показать, что для
стационарных тепловых флуктуаций в линейной электрической пассивной цепи
задачи 1.12 при 1 = 1, \ = 2kBT (Т - абсолютная температура, k -
постоянная Больцмана), С' = 0 справедливы формулы [92]
Ku = kTC~\ Ki2 = K2i = 0, K2-2 = kTA. I
5.15. Написать уравнения (31) для блоков ковариационных и взаимных
ковариационных функций канонических переменных системы задачи 5.13 в
условиях стационарных случайных колебаний.
5.16. Пользуясь формулой Ито (3.61), вычислить математическое ожидание
полной производной по времени от энергии системы Н = = (pTA~1p = qrCq)/2
в задаче 5.12. Показать, что при стационарных случайных колебаниях
мощность, сообщаемая стационарными случайными силами, в среднем
затрачивается на преодоление диссипативных сил и позиционно
неконсервативных сил.
5.17. Написать стохастические уравнения Ито для функций винеров-
ского^процесса, приведенных в таблицах 1 и 2 приложения 5, а также
уравнения (38) и (56) для одномерных характ.ристических функций и
плотностей.
5.18. Для стохастических дифференциальных уравнений задач 3.4 и 3.6
написать уравнения (38) и (56).
5.19. Показать, что одномерная плотность стационарного в узком смысле
случайного процесса в стационарной линейной системе с параметрическими
шумами
2, = а0 -- a\Z -f- (b0 - bxZ) V,
где Z - скалярная переменная состояния, V - стационарный нормально
распределенный m-мерный белый шум интенсивности v и соответственно а0, а1
- скаляры, ba, bi - матрицы-строки 1 Хт, определяется уравнением
d/l(2)_ Cp + CxZ
dz c2 + c3z + c4z2 11
Здесь co = a0 - b0vb[, c1 = a1 - b1xb[, c2 = b0\'bo/2, c3 = b0vbl, ci =
blvb\l2.
Таким образом, стационарный в узком смысле случайный процесс в
рассматриваемой системе существует и его одномерная плотность описывается
одной из кривых Пирсона [38], (ТВ, п. 8.2.1).
5.20. Показать, что одномерная плотность стационарного в узком смысле
случайного процесса в стационарной нелинейной системе
Z = a(Z)Arb(Z) V,
где Z - скалярная переменная состояния, V - стационарный нормально
распределенный m-мерный белый шум интенсивности v и соответственно a (Z)
- скалярная функция, b (Z) - матрица-строка 1 хт, определяется формулой
h (г) ехр j2 J i§f d*\1 а (z)=b(z) xb (гУ'
c^ = \ expbf^pr^!-^-. (I)
J | J a(fe) j a (z)
Само собой разумеется, что стационарный в узком смысле случайный процесс
в системе существует только в том случае, когда интеграл (I) сходится.
Для скалярного белого шума это одномерное распределение найдено в [2].
Найти формулу для одномерной плотности стационарного в узком смысле
процесса, рассматривая исходное стохастическое уравнение как уравнение с
0-дифференциалом, в частности, при 0=1/2 [121].
336 !V1 ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕЛ1
5.21. Найти формулы для одномерной плотности стационарного в узком смысле
процесса в системе задачи 5.20 при
а)a(Z) =-a sgn Z, ?> (Z) = 1 [ 100];
б) a(Z) = - aZ3, b(Z) = 1;
в) a (Z) =- - a1ZO-a2Z~1, b (Z) = 1 [121].
5.22. Показать, что одномерная плотность стационарного в узком смысле
процесса в системе
dL, Z
-•-?_ - aZ^-^ + bZ1-^, Z > 0, яжД,
dt
выражается формулой Накагами [122] через у-распределение.
