Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
математические ожидания, дисперсии, ковариация, ковариационные и взаимные
ковариационные функции процессов Zi (/) и Z2 (/) при нулевых начальных
условиях определяются формулами
m-i=a0t2/2, m2 = aat,
&n = v/3/3, k12 = xt2/2, k22 = xt,
Aufli, I2)=:vitamin (fb t2),
Ki 2(ti, h) = v^j/2 min (t\, t2),
K2i(ti, t2) = xt2/2 min (П, t-z),
K22 (Ii, t2) = x min (Ib t2).
5.3. Доказать, что для уравнений Ланжевена
Z^Z2, Z2 ---2eZ2- V,
где e > 0 - постоянная, V- белый шум постоянной интенсивности х,
дисперсии и ковариация процессов Zl (t) и Z2(t) при нулевых начальных
условиях определяются формулами [125]
ки = (4е/~3 + 4е~Ш -е~ш^'
*12 = -8^з- (! -2е-"* + е-Ю), k22 = 1 (1 -е-"е/).
332 ГЛ. о. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
5.4. Показать, что в условиях задачи 1.3 при обобщенной силе Q в виде
белого шума интенсивности v уравнения (28) и (31) имеют вид
/ги = 2k\2/А,
k12 = - Cku - (В/А) kv2 -l (1 /А) к22, k2., = ~2Ckv2 - (2B/A) k2i-\-v,
dhti (П. t2) 1
dt.
¦K12(h, /*),
OKliVl. h) -CKuVk /2)-4Au'(/i' ii]' /2).
CK2i{t\, t2)-тt\aUi, t-i).
dt 2
dK2l (tu ti)
dt"
<^Л22 (tl, ti)
dt., лп' A
Выписать явные формулы для решения этих уравнений.
5.5. Доказать, что ковариационные и взаимные ковариационные функции
стационарных и стационарно связанных процессов Yi (t), Y2(t) примера 1.9
при входном сигнале X (t) в виде стационарного белого шума интенсивности
v определяются формулами
^11 (т) = -е ~ ' т ' (cos сост-J- у sin <йс | т |),
4уо'а
(т) =----7г~- е - 1 т 1 Sin ш I х |,
4?мссо0
кц (т) = ' т ' (cos ыст -у sin ыс | т |)
(7=с/у мс=ш0 i^T^e5).
5.6. Показать, что в условиях задачи 5.4 дисперсии и ковариация
координаты и импульса в режиме стационарных случайных колебаний, т. е.
когда колебания представляют собой двумерный стационарный случайный
процесс, определяются формулами
kn = vj2BC, /г12 = 0, к22 = Ах/2В.
Доказать, что при наличии сильного демпфирования, В2 > 4АС, процесс
установления стационарных колебаний происходит в две стадии: сначала
устанавливаются колебания импульса, а после этого медленнее происходит
установление колебаний координаты 1125].
5.7. Показать, что уравнения (28) для системы задачи 1.1 при
*а=51*А1^ (А=1. 2).
I = 1
где V = [V1 ... Vn\T-белый шум интенсивности v, b/t[ - коэффициенты,
зависящие от времени, имеют вид
п
кц = 2 (яцйп -{-1112^12) 4" 21 yrlibirb\li,
r,h=l
п
k12 = "21^X1-)- (flu a22) kliA~ a12^22-i" 21 v/7i^lr^2/M
r, h= 1
ft
k22 - 2(ailki2J^a22k22)A^ 21 v r ifiirhyi ¦
r, h= 1
ЗАДАЧИ
333
Получить отсюда соответствующие уравнения для системы задачи 1.2 при A'i-
'-V't, X2 = Vо. Найти стационарные решения при постоянной интенсивности
V. Рассмотреть вопрос установления стационарного решения.
5.8. Показать, что для линейной системы с одной степенью свободы задачи
1.3 при обобщенной силе Q, представляющей собой стационарный случайный
процесс со спектральной плотностью s (со) = Da/л (а'2-}-со2), уравнения
(28) для компонент Z, - q, Z2 = р, Z:i = QjA вектора состояния имеют вид
к,
--2k,
-- k->3 - ahi
*12 - *22 - Wo* 44-------2e*42 -p *13 ,
*22 ~ 2 (cl>0*12 + 26*22 k23) ,
*23 = - 0)0*13 - ~r~ 2e) * 23 -j- *331
*33 - - 2a (*33 -D)
(too - = CjA, 2e = В jA).
в случаях: a) a, e
I ш0; б) e > a, m0;
Рассмотреть стационарные режимы
a) ы0 = 0, е, a > 0.
5.9. Показать, что в условиях задачи 1.14 при движении автомобиля со
скоростью v для экспоненциальной ковариационной функции профиля дороги kq
(ст) -De~ " I 0 I переменные состояния Z4Z, Z2 = Z, Z3 - q удовлетворяют
уравнениям (21) при
ГО 1 0П
-соо
0
- 2в col 1_ U 0 - a
(йв - 2с'М, 2е о>1 = сой - 2 вас,
' 0 '
ao = 0, b - *2
_ *з .
2 5/M, b2 = 2eV2Dav, Ь3~У 2Dau
и белом шуме с единичной интенсивностью. Проверить справедливость
следующих формул для дисперсий и ковариаций в стационарном режиме:
"11;
/г 2 а =
D_
0)0
= 2 Da: = pD,
2еаг.' + f 1 Tj L V
av
w
o)ip
*12 = 0,
pcol
*23 p =
*33 -
aicu D
1 4e ~ctvkl3
м3 + 2eac (do + 2eac + a2
D,
5.10. Показать, что для системы с двумя степенями свободы задачи 1.10 при
Q = V - [V1V2]T, где V - белый шум интенсивности v, уравнения (28) имеют
вид
*11 = 2 (Л22*1з - +2*14) >
*12 = А12*13 -j- + 1*14-- +2^23 - .412 *24"
*13 =----- + 1*11---------------------(+2~Г + 'l) *12 - [filial22-(642 ~г
Вц) Ап] *13
[(612 + 612) +1 644+2] *44 + +2*33 + 2*34"
*14 =-----(+2--------C12) *11-61-22*12 -[(612---612) А22 622+2] *13
-
- [622+I------(612-----6 12) Ап] *14 + +2*34 - + 2*44,
*22 " 2 (--- +2*23 + +l*2l),
334 гл. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
к2з ~ - Сц^'12 - (fi> -г Ci->) к22 - [ВцА,, - (Sjj -j - Bia) Ац] k23 -
- [(B12 + B12) Ац - BuAu] k24- ^12^33 -j- Ацк34,
k24 =--- (C12 - C12) ki2-- C22k22 [(B12 - В 12) A22 - B2 З'йгз] ^23-
[в 22-^11 - (B12--B12) .412] k2i-A 12&34 "Г-ЛцАи.
k33~-- 2Cuki3-- 2 (Cj2-f-C12) k23 - 2 [ВцЛгг - (B12-т B12) ^12] k33
2 [(B12 + B12) Ац- ВцЛцг] A'34-j-V]i,
k34 =- CiA4--(C12 - C12) /Ji3 - C22k23- (С^-рСйз) k2i -
- [ВЦА22 -j~ &22Л11 - 23i2Ai2] k34- [(B12 -j- B12) Ац - ВцИщ] k44 -
