Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
интегральным уравнением Ито
t
U{t)= ^ [A (t, т, Z (т), U(T))4-B(t, т, Z (т), U (t))V (т)]ат. (79)
Здесь А (/, т, г, и) и В (i, т, г, и)-соответственно векторная и
матричная функции указанных аргументов, а интеграл от произведения В на
белый шум в строгом смысле V в соответствии с п. 3.4.9 понимается как
стохастический интеграл Ито.
Так же как и интегро-дифференциальные системы п. 1.5.1, стохастические
интегро-дифференциальные системы (77) - (79) часто приводятся к
стохастическим дифференциальным системам (32). В дальнейшем ограничимся
изучением только таких стохастических интегро-дифференциальных систем.
§ 5.5. СИСТЕМЫ, ПРИВОДИМЫЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
329
5.5.2. Приведение стохастических интегро-дифференциальных уравнений к
стохастическим дифференциальным уравнениям. Рассмотрим случай, когда
подынтегральные функции А и В в (79) допускают представление
Л = Л(/, т, г, u) - w'(t, т)ф'(г, и, т),
B--=B(f, т, г, u) = w' {t, т)ф"(г, и, т), (80)
где <|' (г, и, /) и tp"(г, и, t) - некоторые функции указанных
аргументов, в общем случае нелинейные, а матричная функция [д''(/ т)
w"(t, т)] представляет собой весовую функцию некоторой линейной
дифференциальной системы, описываемой уравнениями
fc = a?-!-aIs1 -j- ct2|2, n = Pt- (81)
Векторные входные сигналы этой системы !i и Н:> имеют ту же размерность,
что и векторы ц>' (z, и, г) и ср"(г, и, t)V соответственно. Коэффициенты
a, a1( од, р в общем случае могут быть функциями времени (. В этом
случае, положив
Д(/)^р2'(/)
и определив Z' уравнением
У.' aZ' -j- ' (Z, U, I) -г сидр" (Z, U, i) V,
приведем стохастические интегро-дифференциальные уравнения (77) - (79) к
стохастическим дифференциальным уравнениям
Z = a(Z, pz\ /)4 b(Z, pz', t)V,
Z' =•- aZ' -)- otjtf/ (Z, pz', i)-; a,<p"(Z, PZ', /) V,
Z(/0) = Z0, Z' (/") = 0. (82)
Если функции ш'(/, x) и :о"(/, т) служат весовыми функциями линейных
дифференциальных систем, описываемых дифференциальными уравнениями вида
(1.31), то, так же как и в п. 1.5.2, соответствующие уравнения
стандартным приемом п. 1.3.4 приводятся к уравнениям (81).
Другим широко распространенным типом функций А я В, входящих в (79),
являются функции, допускающие представление
Л--=Л(/, т, г(х), ы(х))== ф'(/)Ф'(г, и, т),
B-B(t, х, z (х), и (т)) = ф" (/) ср" (г, и, х), (83)
где ф'(/) и ф"(0 - некоторые функции времени t. В этом
случае,
положив
U(i) = ^(t)Z'(t)-r^(t)Z"(t) и определив Z' и Z" уравнениями
Z'=--q/(Z, U, t), Z"-<r"(Z, U, t)V,
330 гл- 5- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
приведем1 стохастические интегро-дифференциальные уравнения (77) - (79) к
стохастическим дифференциальным уравнениям
Z = a(Z, г]yZ'-r^'Z", t) + b{Z, q'Z' + yZ", t)V,
Z' = <t'{Z, t),
Z" = (f"(Z, ф'2' -у t)V,
Z (0) = Z0, Z'(/o) = 0, Z"(t0) = 0. (84)
Так же как и для детерминированных интегро-дифференциаль-ных систем (п.
1.5.2), случаи
м
A (t, т, г, и)= 2 ЩЩО t)<i4(z, и, х),
к- 1
А1
В (/, т, г, Ц)= 2 (r)/П0 ОтН2, и, т) (85)
к~ 1
И
N
A (t, х, z, ц)= 2 Ф*(0А(г, м. "О,
А=1
А*
В((, т, г, н)= 2 ФИО Фа (z, М, т) (86)
1
путем ввода блочных матриц
w' (/, т) = \w[ (/, т) . .. (r);v (/, т)], w"(t, x) = \w'[{t, т) ••• ИИО
И], ф'(2, U, х) = [ф]т (г, и, X) . . . cpyv (z, н, т)]\ ф"(Z, н, х) =
[cpiT(г, и, т) ... tp^(z, и, х)]т,
Ф"(0 = [ФИ0 • • • ФИО].
Ф" (0 = №' (0 • • ¦ Фх (01
приводятся к предыдущим [111, 118].
Пример 21. Рассмотрим одномерную интегро-дифференциальную систему,
описываемую уравнением
t
Z = a(Z, i) + b(Z, t) V+ a' (Z (t),
+ е~м.(^~т) й' (Z (t), t) V (t) dx,
где a, a', b, b' - некоторые известные функции, а V - белый шум. Так как
функции А?-^~т) и являются весовыми функциями апериоди-
ческих звеньев с постоянными времени 7'1=Я"1, T2 = \i~1 (пример 1.6), то
наша система приводится к трехмерной стохастической дифференциаль-
ЗАДАЧИ
331
ной системе вида (82):
Z = a(Z, l) + Z~1Z'~ n~1Z"~ b (Z, t)V,
Z' - X[a' (Z, t)-Z'], Z" = ii{b'(Z, t)V-Z"] (1)
с нулевыми начальными значениями Z' и Z".
В данном случае подынтегральные функции в уравнении выражаются также
формулой (83) с функциями ф' (t) = e~xt, ф"(/) = е~д*. Поэтому исходная
интегро-дифференциальная система приводится к трехмерной стохастической
дифференциальной системе вида (84):
Z = a(Z, 0 + e"W2' + e_ll/Z" + 6(Z, t)V,
Z' = exta'(Z, t), Z"=e^b'{Z, t)V (II)
при нулевых начальных значениях Z' и Z". Нетрудно видеть, что уравнения
(I) более удобны, чем (II) для исследования.
ЗАДАЧИ'
5.1. Найти формирующие фильтры для стационарных случайных функций X (/)
со спектральными плотностями:
?>!"! ?>2"2
а) s* (со) =
б) s* (со) =
rt(ai-fco2) ' л(а2 + со2)
PlOCl_______________Р2"2(Р2Ч-Ы2)_______ ,
rt(oci + co2) л [f>2 + 2 (a-2 - соо) со2 - со4]
, , ._______________Ql"lpl___________:___________?>2^2
л л[р^Д 2(а1-Шо)со2-р со4] л [^t-г 2 (at- соо) со2 -f со4]
(Pi = CCi -{- соо, р2 = СС2 -ф СОо).
5.2. Показать, что для системы
Z1=Z2, Z2 = &s--\' )
где а0 - постоянная, V--белый шум постоянной интенсивности, v,
