Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Так как для устойчивой системы u(t, t0)-> 0 при /-.-оо при любом /0, то
/ " \ go [ 2. U (th, /0)т К ' - go (0) = 1 \*=1 /
при min(^, . . ., /") -- оо. Из формулы (73) следует, что в атом случае
все конечномерные распределения процесса Z (/) стремятся к
соответствующим нормальным распределениям при min(^, ..., tn)оо
независимо от начального распределения g0(Z). Таким образом, для
устойчивой линейной системы распределение процесса Z(t) асимптотически
нормально, если белый шум V в (60) распределен нормально.
5.4.5. Стационарные в узком смысле процессы в стационарных линейных
системах. Рассмотрим устойчивую стационарную линейную систему (21) под
действием стационарного в строгом смысле белого шума. В этом случае а, а0
и b постоянны, функция u(t, т) зависит только от разности аргументов,
u(t, x) - w(t- т) (пример 1.17), а функция х не зависит от
времени, х(р; /) = %.(ц)-
Положив в формуле (69) /0 = - оо, u(t, x) = w(e), сг = /- т,
u(t, /0) = w (oo) =0 и учитывая известное свойство характеристической
функции (ТВ, п. 4.5.1), придем к следующей явной формуле для одномерной
характеристической функции процесса Z(/):
( " * 1
gi {ty- ехр -j iV \ w (a) a0 do + \ yv (bTw (о)т X) da } .
(75)
V о 0 )
Отсюда видно, что одномерная характеристическая функция вектора состояния
стационарной линейной дифференциальной системы при /0 = - оо не зависит
от времени t (именно вследствие этого мы ее обозначили просто gX(Z)).
Следовательно, при неограниченном времени работы такой системы в ней
устанавливается стационарный по отношению к одномерному распределению
процесс (п. 4.1.1). Одномерная характеристическая функция этого процесса,
конечно, удовлетворяет уравнению (61) при dgjdt - 0. Формула (75)
показывает, что в случае нормально распределенного белого шума, когда
х(п) =- pTvp/2 (п. 5.3.5), одномерное распределение стационарного
процесса в системе нормально, причем математическое ожидание т и
ковариационная матрица К
§ 5.4. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ 327
значения процесса Z(t) при любом t определяются формулами п. 5.2.7.
Полагая в (72) /0 = - оо, "(/, т) = ш(а), a = t - т, находим при /j ^ ...
tn
ё tl (^-1 > ' ' ' > ^п> ^1 > ' ' • " ^п)
| п (tm) / п ' \
= exp \ i Y. Ч \ w (о) а0 da - - \ i b1 'Z w (tl - i1 - о)г Xt )do +
I *=i о о \ *=' •
\ I
W (п = 2,3, ...). (76)
к=^ о \ i = ft '
Формулы (75) и (76) показывают, что с течением времени в устойчивой
стационарной линейной дифференциальной системе под действием
стационарного белого шума устанавливается стационарный в узком смысле
случайный процесс (п. 4.1.1).
При произвольном начальном моменте t0 процесс в системе
будет стационарным в узком смысле, если его начальное
распределение определить характеристической функцией ¦
( " * 4
g" (а) = ехр { Дт ) w (о) аа da - ^ ^ (brw (о)т X)da\ .
Vo о )
Чтобы убедиться. в этом, достаточно подставить это выражение в (72) при
u(t, т) = w(t - г), заменив к суммой
П
Z w(tk - toy).,,
k= 1 .
и вспомнить, что согласно свойству (1.24) функции и (/, т) w(tk - t")w(o)
= w(tk - t0 + o)
при всех tk, t0 и а. Для нормально распределенного белого шума V и
нормально распределенного начального значения процесса Z(t) это ясно
непосредственно из результатов п. 5.2.7 и формулы (2.20). В этом случае
конечномерные характеристические функции стационарного в узком смысле
процесса определяются вытекающей из (73) формулой
| П 00
ё"{Аи ...,Хп; tlr . . tn) = exp w(o)a0dв -
{ *=! о
п х \
- 4- '^uAl^\w(tl - tk~- о) bvbTw (oV do Х^ (n = 1, 2, ...). о I
Пример 19. В условиях примера 17 конечномерные распределения
стационарного в узком смысле процесса Z (i) при нормально распределенном
п ,/
+ Z \ %\bT Zw{tl - tk~o)rXl
328 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
белом шуме V определяются формулой
( 11 1
g"(^i> ... Д"; tu . ./п) = ехр ] - ^ е " I<ft '' | (л =
1,2,...).
v k, /= 1 ;
П р и м е р 20. В условиях примера 18 конечномерные характеристические
функции стационарного в узком смысле выходного сигнала Y (/) определяются
формулой
(7ь ...1 7П; ^1- .••. t п) ~
(-щРяг ?
V (Р } 1 J
(0=1, 2, ...).
§ 5.5. Системы, приводимые к стохастическим дифференциальным системам
5.5.1. Стохастические интегро-дифференциальные системы.
Так же как и в случае детерминированных уравнений (п. 1.5.1), в теории
стохастических дифференциальных уравнений рассматриваются стохастические
уравнения Ито более общего вида:
Z = a(Z'ta, t) + b(Z'o, t)V, Z(f0) = Z0. (77)
Здесь, в отличие от уравнения (32), функции а и b при каждом данном t
зависят не от текущего значения процесса Z(/), а ог всех его значений
Z(т) в интервале [^", t), т. е. компоненты вектора а и элементы матрицы Ь
являются функционалам^ от процесса Z(r), г?[/0, t).
Важным частным случаем уравнения (77) является случай, когда функции а и
b определяются формулами [118]
a(Zf0, t) - a(Z ((), ?/(/), /), b(Z\t, t) = b(Z(t), U (/), /), (78)
где U (t) - векторный случайный процесс, определяемый стохастическим
