Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
z + pz = p*(/),
где X (/) - стационарная случайная функция с математическим ожиданием
mx(i) = a--bt и ковариационной функцией кх (т) - De~y-1 т I. Формирующий
фильтр для центрированной случайной функции Х° (t) описывается
дифференциальным уравнением примера 2,
X°-faX°=. У"2Па V,
где V - белый шум единичной интенсивности. Таким образом, рассматриваемая
следящая система описывается линейными стохастическими дифференциальными
уравнениями
Z = - pZ-f pZj-f Р (а-'-Ы),
Zj^ - aZ^VWoiV, Zi = X°(t).
В матричной форме эти уравнения имеют вид
d Z
dt Zj | | 0 - a
Таким образом, в данном случае
Хк-.
' Z + Р (a-) bi) ! ' 0 -
Zi, г>, -г УШх._
Vi-
Xk Г-Р Р| I $(и + Ы) " 0 '
Xk_ ' а=| 0 ctj' а0 = 1 о , ь - УШа_
U (t, т) =
-РР-Т)
Р -a
0-а (1-т)
Предположим, что белый шум V распределен нормально. В этом случае, приняв
во внимание, что v=l, по формуле (52) находим
7. (в; t) = -
§ 5.4. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ
323
Подставив выражения Я, а, а0, Ь, и (t, т) и / (ц; /) в формулу (72) при
ta = О, после элементарных, но довольно громоздких выкладок находим
конечномерные характеристические функции векторной случайной функции [Z
(t) Zi (OF :
gn(^i' fa, ..., Xn, Xn; tlt ..., tn) =
g о
IS
л"Ч;.
P- а
/г = 1
I . ,
С exp -! i 2^ Kk
k= l Dp
1 \ ! " b \ "-Wk
"-I
2 (a - P)2 \
+ a[e-pl^l-rp^+,*)J
2aP
a p
/, /i= i
2a
D_
2
a^p. (rp|^i-ra/<-p4)}^-
~"и/~^1_е_а(^"^)]^Ял| ("-=1,2, ...).
П
/, h= i
Так как эта формула симметрична относительно троек (Яь Яь Д), ... ...,
(Хп, Я"п, /"), то она справедлива при всех О. tn, несмотря на то, что
формула (72) справедлива в общем случае только при О <: tz ' t п.
Для определения конечномерных распределений выходного сигнала системы Y =
Z достаточно положить в полученной формуле Я*=Я^, Я*=0 (й=1, ..., га).
Тогда конечномерные характеристические функции
kn(X1, ..., Я"; ti, ..., /") выходного сигнала системы Y (/) определятся
формулой
(Яь ..., Я"; Д, ..., /") -
1 ¦ \л •
X ехр О 2^4
/< = 1
DP
2(*-р)" Г
I, h= 1
РЧь 2
k= 1
1 \ ( Ь \ - й - -ТГ- ?
Р )~ V Р j J
h-Чг + а 1 1
р,'Н*)х
j
-Fa[e-pl''-,*l-e"P^ + <*)]-
^(в-в1^^1-ьГР1^'*1-2е-^-р^)}я1Ял} (га - 1, 2, ...).
324 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
5.4.4. Случай нормального распределения состояния системы.
В частном случае нормально распределенного белого шума V в уравнении (60)
функция х(ц; 0 определяется формулой (52):
/Лв; 0 = -
Поэтому
( 11 \
зс Ь(х)г 2"(/г, Т)т^; т / =
\ Ык
п
= -| I x)b(x)v(x)b (т)ты {th, т у%"
I, h=k
и формула (72) принимает вид
gn{X" t1.......t") =
( п ( 1 §0 2 "(Л, toy У) ехр j i Y, К ) " (Л. т) а0 (т) dx -
11 '* к |
V Ц ^ u(tt, x)b(x)\(x)b{xyu{th, Xydxlh\
2
*=i/.h = * ^ f
(П=1, 2, ...).
Изменим в последней сумме порядок суммирования-сначала будем суммировать
по k, а потом по I и h. Имея в виду, что 1 ^ k <7 I, h, получим при ti У
t2 У . . . ytn
Вп (^1 ' • • ¦ 1 " • * ¦ 1 tп)
/ п \ ( П
= Яо(2 ti{tk, toyik )ехр \i \ "(Л т)ао(т) dx -
1 У 1 *=> 'и
п mi л (I, h) * 1? 1
- Т 21 М 21 ^ "(У т)Ь(т)у(т)й'(т)1н((л, т)гйт7л}
J /. fc= i *= i t J
4-1
(n= 1, 2, .. .).
Ho
min (/, /г) /'
2 \ u{t[, x) b (т) V (x) b (x)T и (th, x)T
dr:
;=i a
* = i
'A-1
min(r(, <л)
^ ы(Л- т)Ь(т) v(t)6(t)t U(^, T)TrfT.
<*5.-1. КОНЕЧНОМЕРН1>!Е распределения для системы
325
Следовательно,
ёп (^Т' • • • ' У • • • > ?п) =
/" \ I
= "(/*, /о)т А* ) exp ji'V ^ ^ ц(^ T)a0(T)rfT_
\*=i / /..= i у
' о
п m * л {С /л) |
-у I \ и (/,, x)b(x)v(x)b(xy u(t", x'ydxk,A
/,a=i ;о I
(л =1,2,...). (73)
Эта формула симметрична относительно пар (Ац /,), ..., (А", tn). Поэтому
она справедлива при всех несмотря на то,
что была выведена для t1 А ... s^/".
Если начальное распределение нормально, то (ТВ, пример 4.32)
go (А) = ехр | /Атт0 -у Ат/С"а| и формула (73) принимает вид
уп (Ки . . -, А"; tlt . . ., /") = exp | i У к]г
к= 1
^ (tk ' to) /Л0 f-
L
Л
Г
+ [u(tA., x)a0(x)dx V A J i
U j T.h=l L
u(tn t0) K0u (/ft, /0)T +
min (tr th)
+ \ и (tт) b (t) v (x) b (т)т u (/ft, t) 1 dx
(n = 1, 2, . . .).
А,Л
(74)
Формула (74) показывает, что в рассматриваемом случае все конечномерные
распределения случайного процесса Z (t) нормальны. Следовательно, процесс
Z(t) представляет собой нормально распределенную случайную функцию (п.
2.2.8) с математическим ожиданием
т (/) = и (/, i") т -х- \ и (t, т) а" (т) dг
и ковариационной функцией
K(tu t2) = u(tlt to)K0u(L, to)*-f
min (tt, tt)
[ "(/j, x)b(x)v(x)b(xy u(t2, x)*dx
и
326 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
в полном соответствии с формулами (23) и (24). Однако формулы (23) и (24)
были получены в п. 5.2.2 для значительно более общего случая любого
распределения начального состояния и любого белого шума V.
Таким образом, при нормальном распределении начального состояния системы
Z0 и нормально распределенном белом шуме V в (60) состояние системы,
рассматриваемое как функция времени, представляет собой нормально
распределенный случайный процесс.
