Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
получаем f(u(t0, t0)TX) = g0(k) или, так как при любом т и{х,х)
=/, f (к) - g0(k). Эта формула полностью определяет функцию f(x) в (68)
для случая одномерной характеристической функции gx(Z; /). Таким образом,
одномерная характеристическая функция (A; t) процесса Z (/) определяется
формулой
| [
gt(k; t) - g0 (и (t, /0)т/.)ехр , ат \ u(t, т) а0 (т) dx +
+ S t(b{x)Tu(t, x)T/.; x)dx\. (69)
to I
Для определения двумерной характеристической функции к2, Ч, t.2) при t-i
< t2 положим в (68) в соответствии с начальным условием (42) при п = 2, a
= t1, к = к2, t = t2, g{k; t) = = <§'2(^1. К'у С. О- Тогда получим
&(>.!, к2; Ч, t2) = f(u(t.,, Ч)тЯ2)х
it 2 ^2 Л
хехр ч ikl ^ и (/,, т) а0 (т) dx -ф ^ % (Ь(т)ты (t2, х)та2; x)dxk (70) I
К ti >
Для определения функции / воспользуемся начальным условием (42). Положив
t2 = t1, получим на основании (42) и (69)
f(h) = g1(h + k2, Ч) =
( 11
= Яо("(Ч, Ci)T(^i 4-72))ехр - )§u(tlt x)a0(x)dx +
^ to
tl 1
+ x)T(A,-fZ2); x)dx(.
to >
Следовательно,
f(u(t2, tiyi2) = g0(u(t1, t0)T K + uitu t0)T и (t2, Ч)тл2)х I V
X exp ч i [Af -f Ци (t2, 4)] ^ и (tu x)a0 (x) dx -j-
' to
t' 4
+ $ YAb(tY[u(ti, x)tZ! + m(4, x)Tu(t2, /j)TZ2]; x)dx , . ^0
Ho на основании формулы (67)
w(/2, 4)w(/], x) = w(/2, x), u(tu t0)Tu(t2, tyy - и (/ 2, /0)T, u(tu x)Tи
(t2, t1y = u(t2, x)T
320 1 л- 5- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
СИСТЕМ
Подставив это выражение f{u(t2, 11)т>-.,) в (70), найдем двумерную
характеристическую функцию Я2; tu t2):
Для нахождения остальных характеристических функций проще всего применить
метод индукции. Подметив закономерности в переходе от формулы для ^(Я^ А)
к формуле для g., (Яь Я,; tlt t.,), можно написать следующую формулу для
я-мерной характеристической функции g,,^, . . ЯД, . - .', tn) при любом п
и при t1 < t2 < . • . < tn.
Предположив, что формула (72) верна при каком-нибудь п, и пользуясь
формулой (68) и начальным условием (42), совершенно так же, как была
выведена формула (71), убедимся в том, что формула (72) верна и при п, на
единицу большем. А так как она верна при п= 1 и при п = 2, то она верна и
при любом ti. М
Формула (72) дает явные выражения всех конечномерных характеристических
функций случайного процесса Z(t), определяемого линейным стохастическим
дифференциальным уравнением (60). Пользуясь этой формулой, можно найти
все конечно-
g2 (ки Я2; tu /2) = ?0(ы(П. t0)rK + u{t", А)тЯ2)х
+ 5'/(Ь(т)т[и(А, гуК-т и {t2, х)тЯ2]; x)dx-\
(71)
§ 5.4. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ 321
мерные распределения вектора состояния линейной системы. Если Z
представляет собой расширенный вектор состояния системы, включающий все
дополнительные переменные, векторы состояния и выходные сигналы всех
формирующих фильтров, введенных в систему для приведения ее уравнений к
стохастическим дифференциальным уравнениям, то для нахождения
конечномерных характеристических функций вектора состояния системы
следует положить в (72) равными нулю компоненты всех векторов щ, . . .,
).п, соответствующие не интересующим нас компонентам вектора Z. После
этого можно найти и все конечномерные распределения выходного сигнала
системы по формуле преобразования характеристической функции при линейном
преобразовании случайной величины (ТВ, п. 4.5.1). Таким образом, формула
(72) дает полное решение задачи определения распределения вектора
состояния и выходного сигнала любой линейной системы, поведение которой
описывается стохастическим дифференциальным уравнением.
Пример 17. Выходной сигнал 1 формирующего фильтра примера 2 определяется
уравнением
В данном случае -а, а0=- 0, Ь~у, и (/, т)=е-а^~т) и формула (72) дает при
t0 = 0,
gn(hi, ¦¦¦> 1 п) =
В частности, при нормально распределенном белом шуме V (/) функция (p.;
I) определяется формулой (52), и полученная формула принимает вид
Изменив порядок суммирования и учитывая, что во всех слагаемых k < min
(ft, I), получим
X 'I.'/.. .
гдеу--|Т2Да, а V- белый шум единичной интенсивности.
gn (Ф> ¦ ¦ •, . ¦ • •, in) - go \ 2 e 1
Щ=1 J
Xexp j - i f- V { V e~" tr 2T) di ! =
2 -^ J Am**
gn (hi, Я"; ti, ..., t n) -
322 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
ИЛИ gn (h
в'"Ч
¦к х
К>; ti, ¦¦¦, tn) = g0 2
ч*= 1
Хехр-! -У (е J'^'h '^-е а^й + ^)хлХг} (я=1,2, ...).
I нл=1 j
Так как эта формула симметрична относительно пар (Яь П)> (Х", in),
то она справедлива при всех tlt tn.
Если V - слабая с. к. производная пуассоновского процесса (пуассоновский
поток б-функций с независимыми одинаково распределенными случайными
коэффициентами), то согласно (53) % (р; f) = [g (р)- l]v, где g (р)-
характеристическая функция скачков общего пуассоновского процесса, а v -
интенсивность потока скачков. При этом полученная формула принимает вид
gn Р-ъ 'Хп', ti, ..., tn) =
- at.
kXk exp { V
4 l = k J
dx)
Пример 18. Рассмотрим следящую систему примера 2.17, состоящую из
интегратора и усилителя с жесткой отрицательной обратной связью.
Дифференциальное уравнение этой системы имеет вид
