Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений, которая в данном случае имеет вид
dt dkг dkp =________dg_______________ ^
1 ~ р - р [ikTa0+-i(bTk-, t)]g •
- ^ , aiv>'i
l=i t=i
Эта система уравнений получается из исходного уравнения в частных
производных следующим образом: дифференциал каждой из переменных t, ку,
..., кр делится на коэффициент при производной функции g по этой
переменной, а дифференциал функции g делится на правую часть уравнения и
полученные отношения приравниваются.
2. Общее решение уравнений (62) представляется в виде
<М*. К, •••> V g) = ck (fe=l, ..., р+ 1),
где сг, ..., ср, ср+1 - произвольные постоянные (т. е. в форме р-\-1
независимых первых интегралов этих уравнений).
3. Берется произвольная функция f (хг, ..., хр) р переменных и пишется
уравнение
Ф/> + 1 (^> ^1 > • • • g) =/ (Ф1 1 ^1 1 • • ¦ > кр, g) , • ¦ ¦ , Фр {t,k
J , ¦ • ¦ у кр, g))
i63)
Решение этого уравнения относительно g, зависящее от произвольной функции
/, представляет собой полный интеграл уравнения в частных производных.
Этот алгоритм дает решение уравнения в частных производных первого
порядка, линейного относительно производных, ив том случае, когда
коэффициенты при производных и правая часть уравнения зависят нелинейно
от неизвестной функции.
^ Применим этот алгоритм для решения уравнения (61). В нашем случае
коэффициенты при производных являются линейными функциями переменных A,j,
. . ., кр и не зависят от неизвестной функции, а правая часть уравнения
линейна относительно g.
Переписав систему уравнений (62) в форме Коши, будем иметь
§5.4. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ 317
Первые р из этих уравнений образуют систему линейных однородных уравнений
относительно ^ кр, матрица коэффициентов которой представляет собой
транспонированную матрицу коэффициентов исходного уравнения (60) с
обратным знаком. В матричной форме эта система уравнений имеет вид
§ • я:А. (65)
Чтобы найти общее решение этого уравнения, обозначим через u{t, т)
решение уравнения du/dt = au при начальном условии и(т, т) = /, t^x^t0.
Тогда решение v(t,r) сопряженного уравнения dv/dt = - ати при начальном
условии v(x, т) = / определяется формулой (п. 1.3.3) v(t, х) = u(t, т)-
1т. Следовательно, общее решение уравнения (65) определится формулой
A = u(t, а)~1тс, (66)
где с - произвольный постоянный /7-мерный вектор, с = \с1 . . . ср]т, а а
- произвольный момент времени в интервале [70, /). Подставив выражение
(66) в уравнение (64), приведем его к виду
-^- = [tcT"(/, а)-1а0(/) + х(^(От"(Л а)_1тс; t)]g.
Общее решение этого уравнения имеет вид
fr 1
g = Cp+i ехр | \ [icTu (х, а) 1 а0 (т) + % (Ь (т)ты (т, а) 1Тс; x)]dx.,
V ос '
где ср+1- произвольная скалярная постоянная. Подставив сюда выражение с
из (66),
c - u(t, ay к,
и решив полученное уравнение относительно ср+1, будем иметь f
cp+1- = gexp< - ) [ikTu(t, а)и(х, а)~1а0(х) +
V а
+ У. (Ь (х)т и (т, a )~1Tu(t, а)тк; т)]с?т|.
Но согласно формуле (1.24) для любых а<т<7
u(t, a) = u(t, х)и(х, а). (67)
Пользуясь этой формулой, приведем предыдущую формулу к виду
318 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Правая часть этой формулы и компоненты вектора u(t, а)7}. представляют
собой соответственно функции ф^+i, фи <р
пункта 3) алгоритма. Следовательно, взяв произвольную функцию р-мерного
вектора f(x), получаем уравнение (63) для данного случая:
( г
gexp\- т)а0(т)с!т-
v а
г \
- ) Х(Ь(т)ти(/, т)т /.; x)cfx i = f(u(t, a)Tl).
а '
Решив это уравнение относительно g, находим полный интеграл
уравнения в частных производных (61):
( С
g(h t) = f(u(t, а)т Я,) exp ! ikr 3 и (t, х) а" (т) dx -f
v а
с 1
+ з X(b(T)ru(t, х)тл; X)dx,. <4 (68)
а '
Произвольная функция f (х) в этой формуле определяется из
соответствующего начального условия при t = а. Поэтому по формуле (68)
можно определить последовательно все конечномерные характеристические
функции процесса Z(t), пользуясь начальными условиями (39) и (42).
При выводе формулы (68) мы ввели дополнительную произвольную постоянную
а. Однако эта постоянная несущественна и введена только для удобства
пользования начальными условиями. Чтобы убедиться в этом, достаточно
заметить, что замена а любым другим моментом времени |3 приведет к
появлению в (68) дополнительного постоянного слагаемого в аргументе
показательной функции и дополнительного постоянного множителя и ф, а)т
при (3 > а или и (а, |3)-1т при (3 < а в аргументе произвольной функции /
(х). Оба множителя, полученные при этом, можно включить в состав функции
/' (х) ввиду ее произвольности. Поэтому введение произвольного момента
времени t) по
существу не вносит никакого дополнительного произвола.
5.4.3. Явные формулы для конечномерных характеристических функций.
Применим теперь формулу (68) для вывода явных выражений для всех
конечномерных характеристических функций вектора состояния линейной
системы.
> Положив в (68) a = t0, g(0 = О и пользуясь начальным условием (39):
gift *0) = &>(*¦).
•§ 5.4. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ 319
