Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
процесса в системе, имеет внд
М |ipT-^-^ ~Щ-2ei/.Tp-\4ТА (q) е1ит,? + 1/-гР =0
или (r) 00
(П)
J J P)dqdP-
00 09
- J ^ -| vv4 (^) Л,| elix 4 + A pfi(q, p)dqdp = 0,
- 09 - 00 4 ~ '
где fi(q, p) - одномерная плотность стационарного процесса в системе.
Чтобы решить уравнение (II), преобразуем каждый из интегралов
С -^-eV'k'tk^Lf1(q,p)dqk, С JL_elhkpk ^_f1(q, p) dpk J dqk dpk J dpk
dpk
- 00 - 00
интегрированием по частям. Тогда получим
Г д JVb4k дН ( , , ,
з же жzh(q'p)dqk=
lv-kQk дН t , = е к R ^- /1 (q, Р) dpk
dQk
дН
дРк
Ы<7. Р)
dqk.
Первое слагаемое здесь равно нулю, так как интегралы в (II) могут
сходиться только при достаточно быстром убывании функции (dHjdpk) /1 (q,
р) при q^-->¦ 00. Следовательно,
С d_eV'k''k Щ-fiiq, р) dqk J dqk рдк
- 09
Аналогично находим Г d jxkpk дН
к4 к
dp к
P)dpk=- \ dqk J
dp к
дН dp к
|ЭН dqk
M<7> P)
fi(q> p)
dqk.
dpk-
*) Матрица A(q)k определяется, как обычно, путем приведения матрицы A (q)
к диагональной форме ортогональным преобразованием S, A(q) = SA(q)S1, Л
(17) = diag (q), ..., Хп (?)}, и возведения всех собственных значений
^(9), ..., кп (q) в k-ю степень: A (q)k = SA (q)k ST, Л (q)k = = diag {X*
(^), ...,%kn(q)}-
314 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Подставив найденные выражения в (II), получим после сокращений
CD 00
С С dqdp-
J - \ dq dp dp dq j
- 00 - CD
00 00
\ \ j2Zip +y \A (q) I - e,(i q : tK p / 1 (9, p) d? dp = 0. (Ill)
¦ A
- 00 - CD
Отсюда видно, что первый интеграл в этом уравнении обратится в нуль, если
принять /, (q, р) произвольной функцией полной энергии системы, f1(q, р)
= ц>(Н) (конечно, функция q>(H(q, р)) должна обладать свойствами
плотности). Тогда уравнение (III) примет вид
00 X
- А.т 5 5 i 2в.р 4-1 мД (q) к I + i)Jp ф (Я)
- ~J. - 00 '
dq dp - 0. (IV)
Во втором слагаемом преобразуем каждое выражение Л* ^ P <p(H)dp,
выполнив интегрирование по частям по соответствующей компоненте вектора
р. Тогда будем иметь
X 00 X
i%k J e"-TP?(/f)dp*= J ^_е"-ТР(р(Я)фА = - J ealP^(H)^Ldpk
- х - X - X
II
XX X
к ^ Ф (Я) dp = ? J ф' (Я) Ш-dp = iA(q)~* ^ ре,7-Тр <р' (Я) dp. (V)
- х -(r) - х
Подставив это выражение в (IV), получим
X X
-ikT ^ $ /геф (Н)-\--ту з'ф' (Я)1 peiv^q т<7-Тр dq
dp = 0.
- X - X '
Это уравнение будет удовлетворено, если определить функцию ф(Я)
уравнением
2бф(Я) + -1уф'(Я) = 0. (VI)
Интегрируя это уравнение, находим
ф (Я) - се~аИ, а = 4e/v,
где с - произвольная постоянная, которая определяется из условия
нормировки
X 00
с-1= ^ e~afi ">• Р> dq dp. (VII)
- X - X
Таким образом, одномерная плотность (д, р) стационарного в узком смысле
процесса в рассматриваемой системе определяется формулой
fi(q, р) = се~аН W' р>, cc = 4e/v, (VIII)
где с вычисляется по формуле (VII). Распределение, определяемое этой
плотностью, известно в статистической механике как каноническое
распределение Гиббса [83].
§5.4. КОНЕЧНЭЧЕРНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ
315
Чтобы найти другие конечномерные распределения стационарного процесса в
системе, следует по найденной одномерной плотности определить одномерную
характеристическую функцию 00 00
gi (П> *0=с ij' ^ ехр{('цт<?-(-1Хгр - аН (q, p)}dqdp (IX)
- 00 - 00
и последовательно проинтегрировать уравнения, полученные из (41) и (42) в
этом пункте, при п = 2, 3, ... В общем случае для этого придется
применить приближенные методы гл. 6. В частном случае линейной системы,
когда потенциальная энергия П (</) представляет собой квадратичную форму
относительно q, стационарный процесс в системе распределен нормально и
его конечномерные распределения определяются формулами п. 5.4.5.
Формулу (VIII) можно также вывести из уравнения (56) при df1!di= 0.
§ 5.4. Конечномерные распределения вектора состояния линейной системы
5.4.1. Уравнения для характеристических функций в случае линейной
системы. В случае линейной системы a (z, t) в (32) является линейной
функцией г, a b(z, t) не зависит от z,
a (z, t)~a (t) z - а" (t), b(z, t)^b(t),
и уравнение (32) принимает вид
Z = aZ^a0+bV, (60)
где аргумент t функций а, а0 и b не указан. В этом случае
а(-Ж' = ia (t) Ж^~ао (t)
и уравнение (58) принимает вид
ж = + (61)
Такому же уравнению удовлетворяет я-мерная характеристическая функция
процесса Z (():
d$n = Ka(tJd$n + [iXla0(tn) + x(b(tnyXn-, tn)]gn.
Таким образом, проинтегрировав уравнение (61), при соответствующих
начальных условиях мы найдем все конечномерные характеристические функции
процесса Z(t).
5.4.2. Интегрирование уравнений для характеристических функций. Для
интегрирования уравнения (61) перепишем первое слагаемое в его правой
части в скалярной форме, опуская индекс 1:
§?-? (? = + 0]?-
k=i \i-1 / *
316 гл. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Стандартный алгоритм интегрирования уравнений в частных производных
первого порядка, линейных относительно производных, состоит в выполнении
следующих действий [71]:
1. Интегрирование соответствующей системы обыкновенных дифференциальных
