Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
структуры представляет собой функцию вектора состояния Z(t),
X
s(t)= 2 skiAk(Z(t)),
k=l я
где Alt ..., An - попарно непересекающиеся области, на которые разбито
пространство состояний (п. 1.4.3). Вследствие этого стохастическое
дифференциальное уравнение системы представляет собой уравнение вида
(32).
Если при попадании на границу одной из областей, скажем Ах, процесс
останавливается (поглощается), то функции а и b в этой области следует
принять тождественно равными нулю (соответственно вектору, все компоненты
которого тождественно равны нулю, и матрице, все элементы которой
тождественно равны нулю) a(z,sN, /) = 0, b(z, sN, /) = 0.
5.3.11. Стационарные процессы в стохастических дифференциальных
системах. Решение уравнений (38) и (41) в каждой конкретной задаче
зависит от начальной одномерной характеристической функции g0(^)- При
произвольных t0 и §¦" (а,) процесс в системе (32) в общем случае будет
нестационарным.
Большое значение для приложений имеет вопрос о существовании стационарных
режимов в стационарных дифференциальных системах, когда процесс Z(t) в
системе стационарен в том или ином смысле (п. 4.1.1). Чтобы ответить на
этот вопрос, рассмотрим стационарную дифференциальную систему (32) под
действием стационарного белого шума V'. В этом случае функции а (г, t),
b(z, t), у(р; t) не зависят явно от времени, a (z, t) = a(z), b(z, t) =
b(z), 0 = X(l1)- Если процесс Z(t) в такой системе
стационарен по отношению к одномерному распределению, то его одномерная
характеристическая функция gi(X; t) тоже не зависит от времени, gi (Я;
0==i§ri(^)> dg1(X)/dt = 0, и уравнение (38) принимает вид
М {/Ята (Z) -у х (Ь (Zy X)} e^z = 0.
В случае, когда это уравнение имеет нетривиальное решение gj (л) 0, gi
(0) = 1, в системе возможен стационарный по отно-
шению к одномерному распределению процесс Z(t). Докажем, что этот процесс
стационарен в узком смысле.
Предположим, что процесс Z (t) стационарен по отношению к (п-1)-мерному
распределению. В этом случае
ёп- 1 (^'И • • • I ^л -1> ^1> • • • > ~ ёп- 1 (^1" • • ¦ > ^Л-1' •
• • > 4l - г)>
где т! = /2 - tlt ..., rn_2 = tn_1 -1±. Рассмотрим уравнение (41) для
g"(X1? ..., Я"; tlt ..., tn). Заменой переменных tn = t1 + xn_l
312 гл. 3. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
приводим это уравнение к виду
dgn (К, •••> hn, t1, ... л-т"_1)/<3тп_1 =
= М {ilia (Ztn) + х (b (Ztn)T ?-")} exp {il\ZH + . . . + iKZtn}.
Начальное условие (42) для этого уравнения имеет вид ¦ * ¦ " ^п' 4> • • •
" ^n - lt ^n - l)
gn - 1 (^1* ¦ • • > ^n - 1 ~~Ь Тц . . . , ^п -
2)*
Так как правые части уравнения и начального условия не зависят явно от
tn, то и решение уравнения зависит
только от tj, . . ., Tn_j:
gn (^11 • • ¦ > ^n, 4 > • ¦ ¦ > 4 + Bx-l) (^"Х, • • • , ^П' > • • • I
^П-1)"
Следовательно, процесс Z (/) стационарен и по отношению к гг мерному
распределению. А так как процесс Z(t) стационарен по отношению к
одномерному распределению, то он стационарен по отношению ко всем
конечномерным распределениям. ^
Таким образом, если в стационарной стохастической
дифференциальной'системе существует стационарный процесс, то этот процесс
стационарен в узком смысле. Конечномерные распределения этого процесса
определяются уравнениями (41), (42) при g\(>-; t) = gi(k), где g1(k)
определяется уравнением (38) при dgjdt = 0.
Если уравнение, определяющее одномерную характеристическую функцию gi (X)
стационарного процесса Z(t) в системе, имеет несколько решений, то каждое
из решений определяет возможный стационарный режим в системе.
В случае нормально распределенного белого шума одномерное распределение
стационарного процесса в стационарной системе можно найти интегрированием
уравнения (56), положив в нем dfjdt = 0:
-57 [а (г) 4 (г)] + у tr [ь (2) vb (z)Tfх (г)]| = 0.
Анализ известных стационарных распределений в таких системах дан в [97].
Пример 16. Найдем одномерное распределение стационарного процесса в
нелинейной механической системе с /г степенями свободы, поведение которой
описывается уравнениями в канонических переменных
?=|Г' Р = ~-ЬР + А")'''У.
где q=[q\ ...qnY - вектор обобщенных координат, р = A (q)q = [щ ... р"]Т-
вектор обобщенных импульсов, A (q) - обобщенная масса, которая
представляет собой симметричную положительно определенную матрицу, в
общем случае зависящую от q, Н-функция Гамильтона (полная энергия
системы), определяемая формулой
H = H{q, р) = ртА (q)-1 р/24П (q), (I)
5.§3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 313
11(17) - потенциальная энергия системы, 2е - удельный коэффициент вязкого
трения, V=[V! ... V"Y - вектор обобщенных сил, компоненты которого
представляют собой независимые нормально распределенные стационарные
белые шумы одной и той же интенсивности v*).
Вектор a(Z), Z - [qTp^]'t, и матрица b (Z) имеют в этом случае блочную
структуру:
a(Z) =
дН/др -dH/dq-2в р
b (Z) =
О
A (q)1/2
Уравнение (38), определяющее независимую от / одномерную
характеристическую функцию gi (р, ^.) стационарного в узком смысле
