Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
случайными изменениями структуры:
= M |iZTa(Z, S, t) + %(b(Z, S, t)Tk; 0 +
+ 2 [eiisb-S>Kgk(k Z, S, 0-l]v*(2. S, : z.
*=i I
308 1'Л. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Совершенно так же записывается уравнение (41) для остальных конечномерных
распределений.
Из уравнения для одномерной характеристической функции легко выводятся
уравнения для условных характеристических функций в различных структурах
и для вероятностей структур. Имея в виду, что при каждом t S{t) = St-
дискретная случайная величина с возможными значениями Sj, . . ., sN и
вероятностями этих значений Px{t), ..., px(i), по формуле полного
математического ожидания {ТВ, п. 4.3.3) находим
gl (I; t) = MeiKS{t)^ikTZ{t) = 2 p/'-°Sl ёг {'К 11 si),
/ = 1
где 11 Sj) - условная характеристическая функция вектора
состояния системы Z в /-й структуре. Аналогично вычисляется по формуле
полного математического ожидания математическое ожидание в правой части
уравнения для g1 {X; t). В результате это уравнение примет вид \
V Jl°si dp;gi (?.; t\ sp _
& "
.V
= Pie'}'°s'M[{i'kTa(Z, st, t)-j-x(b{Z, s" t)T I; /)} eixT z | s,] -f / =1
Л' Л'
-S Pie'lohYJ [e'k°{Sk~Sl) мёАА z- SZ. t)vAz> t)eilTz\sl] -
/ = 1 ft=l
/V г Л
- S. pteu'°SlM 2/v*(z> si. 0ea7"zlsz •
Z=1 |_/;=I
Здесь индекс l у сумм по Л указывает, что слагаемое, соответствующее к =
1, в сумму не входит. Это объясняется тем, что при отсутствии изменения
структуры процессы Pt{t) и Qt{t) сохраняют постоянные значения,
вследствие чего gl(k; Z, s,, /) = 1 -Изменив порядок суммирования в
первой двойной сумме, приведем ее к виду
2 f?"'°s*2к PtM[gk(k\ Z, s" t)\k{Z, sc, t)eaTz\s[}.
k=\ i-l
Поменяв местами индексы k и / (от этого двойная сумма не изменится) и
подставив полученное выражение в предыдущее уравнение, будем иметь
§5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 309
_ j e^h J' PkM \gt (Я; Z, sk, t)vt(Z, sk, t)eiX-Tz |sj -
1=1 k=1
-Ep/4M[vi(2, O^K],
i = i
где для краткости положено
,'V
V,(Z, 0= S' V,(Z, s*, t).
k= l
Сравнив коэффициенты при одинаковых показательных функциях и обозначив
через /у (г; ^ | st) условную одномерную плотность процесса Z(t) в /-й
структуре, получим систему уравнений
ар,е,<я; /].,) =pt j {аТо(2> S(i t) +
- 00
+ Х(Ь(г, s" t)Tk\ 0} еаТг} Д (г; фг)сй:4-
.V 00
+ S'/"* S 2- Sft, t)v,(Z, Sk, 0в<Л^(2; f|sft)dz -
*=<
X
- pt I vt(z, t)eaTz[1(z; 11 st)dz (/ = 1, A').
- GC
Положив здесь Я = 0 и имея в виду, что gY (0; X [ Sj) = 1, 7 (0; 0 = 0.
получим уравнения для вероятностей структур системы в момент t:
Л' оо
Pi=1l Рн J v;(2. s*. 0Л(2; ^|sA)rfz-
к= 1 -- оо
00
-pt \ Vf(z, t)f1 (z; t\st)dz (/ = 1, ..., A).
- oe
Выведенная здесь система уравнений для функций (Я; t) = ~ PiSi (Z; 11 S[)
была получена в [86] для частного случая винеровского процесса W (t).
Уравнения для вероятностей структур были получены в [87].
Совершенно так же, как в п. 5.3.6, из уравнений для условных
характеристических функций в случае винеровского процесса W (/) можно
вывести уравнения для условных плотностей. Для этого изменим обозначение
переменной интегрирования z на ь, умножим уравнение для ptgt (Я; 11 st)
на e-l7-Tz/(2n)^ и проинтегрируем по Я. При этом первый интеграл
преобразуется абсолютно так же, как в п. 5.3.6, и дает в результате
слагаемое, аналогичное правой части уравнения (56). Второй интеграл,
310 гл. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
вследствие формулы 00
S ?. sk, t)eaT <l-*'dX = ql(z - Z,; ?, sk, t),
- 00
где qt(y, ?, sk, t) - плотность скачка процесса Qk (t) при данных ?, sk и
t, преобразуется к виду 00
5 qt (z t; ?, sk, t)vt(i:, sk, /)/](?; t\sk)dl.
- x
Третий интеграл вследствие формулы (ТВ, приложение 1)
00
- оо
принимает вид
vt(z, 0/i(z; ф,).
В результате получаются уравнения
др1^%-1\$1) =--Pi ^-[a(z, s" 0/i(z; ф,)] +
+т~tr {? §г^г> s*> Ф(Ф(г- s". 0TMz; ф|)]} +
N X
+ ?//?* S ?i(z~S; ?. Ov,(S. 0M?; Ф*)^С--
- PzV|(z; f)Mz; Фг) (/ = 1> ¦¦¦.¦N).
Эти уравнения для функций соф; t) = plf1(z\ 11 s;) были получены в [86,
87].
В важном частном случае, когда при переходе от одной структуры к другой
вектор состояния системы Z не получает случайного приращения, слагаемые с
dQk в уравнении для Z отсутствуют (Qk(t)= 0). В этом случае в уравнении
для одномерной характеристической функции t) и в уравнениях
для условных одномерных характеристических функций gk (Я; 11 st) при
разных структурах gt (7; z, sk, t) = 1. Соответственно в уравнениях для
условных одномерных плотностей f1 (z; t | s,) при разных структурах qt(z-
?; ?, sk, t) = 8(z - Q и уравнения для [1(z; /1 s;) (/ = 1, ..., N)
принимают вид
dPif i.(g, Я s<)= _ Pl^l [a(z, s" t)fx(z\ ф,)] +
+ T- tr {H ^(z' s<> t)v(t)b(z, s" t)T /i(z; i\s,)]} +
N
+ X vc(z> s*- t)[pji(z\ -t\sk)-PtfAz\ Ф*)]
k-1
(/ =¦ 1 , . . . , N). :
§5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 311
Для систем со структурой, изменяющейся при переходе из одной области
пространства состояний в другую, случайный процесс S (t) изменения
