Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
системы в момент перехода.
Легко видеть, что процесс S (t) определяется стохастическим
дифференциальным уравнением Ито
А'
dS = 2 (sr - S)dPk.
1
Предполагая, что при изменении структуры системы ее вектор состояния
может скачком получать случайное приращение, напишем стохастическое
дифференциальное уравнение системы со случайно изменяющейся структурой в
виде
N
dZ = a (Z, S, t)dt \-b(Z, S, t)dW+ 2 dQh,
k = l
где Qk{t)- общий пуассоновский процесс с переменным распределением
скачков, порождаемый простым пуассоновским процессом Рк (i) (k = 1, . .
., N). Распределение каждого скачка процесса Qk{t) может зависеть не
только от времени, но и от вектора состояния системы Z и ее структуры в
момент перехода в k-ю структуру. Таким образом, добавив к вектору
состояния системы Z значение процесса S, определяющего ее структуру, мы
получили систему стохастических дифференциальных уравнений Ито,
описывающую поведение системы со случайно изменяющейся структурой. Ее
вектором состояния естественно будет вектор Z^=[SZT]T.
Рассмотрим теперь случай, когда изменения структуры процесса представляют
собой эрланговские потоки событий. Эрлан.
306 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
говский поток событий получается из пуассоновского потока путем пропуска
подряд п-1 событий и отбора каждого события, имеющего номер, кратный
данному числу л. Натуральное число л будем называть параметром
эрланговского потока. Ясно, что в случае эрланговских потоков изменений
структуры системы следует ввести перед дифференциалами dPk и dQk в
стохастических дифференциальных уравнениях системы множитель <рк(Рк, S),
представляющий собой периодическую функцию Рк с периодом, равным
параметру nk(S) соответствующего эрланговского потока, равную 1 при Р к
=z ns (s=l, 2, ...) и 0 при всех остальных (целочисленных) Рк. В
результате стохастические дифференциальные уравнения системы примут вид
К
dS = 2 (sk - S)<pk(Pk, S)dPk,
A'
dZ = a(Z, S, t)dt-i~b(Z, S, t)dW ¦- 2 Ф*(Л:> S)dQk.
ft=i
Описание систем со случайно изменяющейся структурой с помощью
стохастических дифференциальных уравнений было предложено в [103].
Уравнения системы со случайно изменяющейся структурой при пуассоновских
потоках изменений структуры можно записать в общей форме уравнений Ито
(3.79):
dZ = a(Z, t)dt~{-b(Z, t)dW,
где Z = [SZT]T- вектор состояния системы, W (()-процесс с независимыми
приращениями, состоящий из NJrl независимых блоков W (t), \Рк QJ]7",
[/V Qa]t, <з(г, /), b(z, t) - блочные
матрицы
Аналогично можно привести к общей форме уравнения Ито (3.79) уравнения
системы со случайно изменяющейся структурой при эрланговских потоках
изменений структуры. Однако в этом случае коэффициенты при dPk и dQk
зависят от Рк. Поэтому в соответствии с замечанием в конце п. 3.6.1
вектор состояния системы следует расширить добавлением к нему вектора Z'
с компонентами Z'1 = P1,...,Z'N = PN, определяемыми уравнениями dZ'1 =
dP1, . .., dZ'N = dPN.
Напишем уравнение (38) для одномерной характеристической функции вектора
состояния системы со случайно изменяющейся структурой. Для этого найдем
сначала функцию % (р; t), соответствующую процессу W (t), р = [р рх • . •
p,v]T- В соответствии со
s д' - s 0 0 / *
§5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 307
сказанным в п. 5.3.5 функция %(р; t) в этом случае представляет собой
сумму функций 1, соответствующих независимым блокам W (t), [Pj (t)
(0T]T. • • •> [^a'(0Q.v(0T- составляющим про-
цесс W (t):
,Y
X(p; Z, S, ?) = X(F. 0+ 2 Х*(НИ 5> 0.
*=1
где x(p; t), xk (pA; Z, S, t)-функции % процессов W_(t). [Pk(t) Q*(X)T]T,
соответственно (/z=l, . .., Л'), р = [рт р[...и^]т - разложение вектора u
на блоки, соответствующие независимым блокам, из которых состоит процесс
W (t), a p* = [pAo!UJ]T - разложение вектора \ik на блоки,
соответствующие процессам Pk{t) и Qk(t). Здесь мы учли, что интенсивность
потоков скачков процессов Pk(t) и распределения скачков процессов Qk(t)
могут зависеть от вектора состояния системы Z = [S ZT]T. Пользуясь
формулой (37а) п. 5.3.1 для функции % и формулой для характеристической
функции приращений пуассоновского процесса и порождаемого им общего
пуассоновского процесса на бесконечно малом интервале (t, s], согласно
которой (пример 3.12)
hк (HV> z, S, t, s) =
= 1 + [A*0 (lV> Z, S, t)- l]vft(Z, S, t)'(s-t) + o(s-t),
находим
Xa(HH z< s, 0 = [еЩк0"ёЛV-k\ z, S, t) - l]\-k(Z, S, t). где gk (pA; Z, S,
t) - характеристическая функция скачка процесса Qk(t) в момент t,
зависящая также otZ(0, S(t). Таким образом,
_ Л'
х(ц; z, s, о = х(,и; 0-^-2 gk(м-*; z, s, ?) - i]v/{(Z, s, t)
k = \
и соответственно
X(b(Z, S, tyl- Z, S, 0 = X(b(Z, S, t)TX; t) +
j [ei(s*-S)i'^(>.; Z, S, 0-1] v*(Z. 5, t),
A=-I
где Я=[Х0ХТ]Т- разложение вектора а на блоки, соответствующие блокам S, Z
вектора состояния системы Z. Подставив это выражение в (38), получим
уравнение для одномерной характеристической функции процесса в системе со
