Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
стационарного белого шума с постоянной интенсивностью v. В этом случае а,
а0, Ь постоянны, функция и((, т) зависит только от разности аргументов, и
(t, т) = w (t-т) (пример 1.17), н формулы (23), (27) и (24) при t0 - -оо
принимают вид
Из этих формул видно, что с течением времени в устойчивой стационарной
линейной дифференциальной системе иод действием стационарного белого шума
устанавливается стационарный в широком смысле процесс (п. 4.1.1). Из этих
же формул : учетом (1.9) видно, что условие устойчивости системы не
только достаточно, но и необходимо для существования стационарного
процесса.
Так как т и К в стационарном режиме постоянны, тс. полагая в уравнениях
(2(3) и (28) т =••• 0, К--- 0, получим линейны- алгебраические уравнения
для т и Ад
Если начальные значения т0 и К" удовлетворяют этим урав" нениям, то
уравнения (26) и (28) имеют очевидное решение т = т", К~-Кн. В этом
случае при любом процесс Z (:} будет стационарным в широком смысле. Это
обстоятельство было использовано при построении формирующих фильтров в §
5.1.
X
0
K^\w (?) bvbTw(l)1 dl
О
k (т) [ w (Е 4~ т) b\bYw (д)г dc.
о
am-rait = 0, аК К и bvb =0.
§5.2. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 255
Чтобы найти ковариационную функцию k(x) стационарного процесса Z (/) в
линейной системе, транспонируем уравнение (31), предварительно поменяв в
нем и t., местами. Тогда, учитывая, что матрица a (t) = а постоянна и что
К (/,, Ч)т - t2)(п. 2.2.11),
будем иметь при t1 > t2
dK{t-L,to) п1/Г ы ^
' 1" * 2 ) *
Положив здесь K(ti, t2) = k(x), v-t1 -12, t2 = t и сделав замену
переменных t1 = t-~-x, получим при фиксированном t уравнение
dk (т)
dx
¦¦ ak (т)
Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение при начальном
условии k(0)^K определяет k (т) при т > 0. При т < 0 согласно второму
свойству ковариационной функции стационарного случайного процесса (п.
4.1.2) k (т) определяется формулой k(x) = k(-т)т.
Решение линейного дифференциального уравнения для ковариационной функции
k(x) для устойчивой системы представляет собой линейную комбинацию
функций, содержащих затухающие экспоненты. Каждой такой функции
соответствует рациональная спектральная плотность. Таким образом,
стационарный процесс в стационарной линейной системе (21) обладает
рациональной спектральной плотностью. К этому выводу можно также прийти,
если воспользоваться формулой (4.24), положив Ф(До) = == - (а - по/)-1 К
Пример 9. В условиях примера 6 дисперсия Dx и ковариационная функция kx
(т) стационарного процесса X (г) определяются уравнениями
- aDx -j- aD - - 0,
dkx (т)_
dx
¦akx{x), '.О) I).
Для существования стационарного процесса в системе необходимо и
достаточно условие а > 0.
Пример 10. Для примера 7 ковариационная матрица К и ковариационная
функция k (х) стационарного процесса при а - 0 существуют г определяются
уравнениями
\-1' Л,
° -ПП./пЬ'1
dk (т)
d%
Заметим, что полученные результаты легко распространяются на
нестационарные линейные системы (21) при постоянных а, Ь и v и
произвольной функции времени att (t). В этом случае полученные уравнения
для К и k (т) остаются справедливыми, а т представляет собой функцию
времени, определяемую уравнением
286 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
(26). Процесс Z (t) в системе, для которого т определяется уравнением
(26) при любом начальном условии, а К и k(r) находятся изложенным здесь
способом, будет ковариационно стационарным (п. 4.1.1).
5.3.1. Одномерная характеристическая функция. Рассмотрим систему,
состояние которой (в общем случае расширенный вектор состояния)
описывается стохастическим дифференциальным уравнением Ито *)
где V-белый шум в строгом смысле (п. 3.4.2). Поставим задачу: найти все
конечномерные распределения вектора состояния системы Z(t), предполагая
известным одномерное распределение (а следовательно, и все конечномерные
распределения, п. 3.4.1) процесса с независимыми приращениями
> Для нахождения одномерной характеристической функции случайного
процесса Z (t) рассмотрим два близких момента времени tu / + At. По
определению характеристической функции {ТВ, п. 4.5.1) значения одномерной
характеристической функции §4 (Я; /) процесса Z{t) в моменты t и t4-At
выражаются формулами
од (Я; t) = Meixrzit), gy(A; t + At) = Mearz(t+lt>.
Вычитая первую формулу почленно из второй, будем иметь gy (Я; t + At)-
gt(A; /) = М [e^-Tz(<+AO_e?/.Tz(Oj _
= М |y*TAZ(0_ 1] e"Zz(t)m (34)
Но из (32) и (33) следует, что с точностью до бесконечно малых высших
порядков
AZ(t) = Z(t + At)~Z{t):=a(Z(t), t)At-b{Z{t), t) AW,
¦или, опуская аргумент t функции Z(t),
AZ = a(Z, t)At + b{Z, t)AW, AW = W{t~At) - W{t).
§ 5.3. Конечномерные распределения вектора состояния. Общая теория
Z = a{Z, t)T-b(Z, t) V,
(32)
(33)
*) В дальнейшем будем без особых оговорок понимать все стохасти" ческие
интегралы, дифференциалы и дифференциальные уравнения в смысле
1 !то.
§5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 287
