Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
решение
t
Z(t) = \/W (t), W (I) .-.= V (t) dx.
о
Одномерная плотность и одномерная характеристическая функция процесса Z
(t) определяются формулами
X
gi (к; /) - MeP-z -- MpTt-iw --!- i giTu.'-uj2/2t dw.
У 2nl J
- an
Уравнения (38) и (56) имеют в данном случае вид
eilz.
dgi(fo О и
ikZ3- i- zl
t-s1-'1'18' oi :4|гР'мг; oi.
Функция /х (z; /) удовлетворяет второму из этих уравнений, а функция gx
(X; /) не может удовлетворять первому уравнению, так как, несмотря на 7 0
что производная
dgi (^J)^ j Г gO.'v-wVUfaj' 1...................... Г W2eaiw-w*/2t
& 2 К 2л/3 J '2}а2лГ- J
dw
существует вследствие того, что оба интеграла абсолютно сходятся,
математическое ожидание в правой части первого уравнения не существует,
так
*) Для получения первой формулы достаточно воспользоваться формулой (1)
приложения 2 в книге ТВ; для получения второй достаточно воспользоваться
формулой для плотности степенной функции случайной величины (ТВ, пример
5.21).
§5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 301
как при любом натуральном п
00
MW~n pAW =-^ Г - dw,
У 2nt J
- CO
а этот интеграл расходится.
5.3.7. Уравнение для переходной плотности в случае винеровского
процесса. В частности, написав уравнение (56) для двумерной плотности /,
(Zj, z2; tlt t2) и заменив в нем f2(zlt z,; tlt t2) ее выражением через
одномерную плотность и плотность перехода (п. 2.1.3),
f,(zu z.,; tlt t.2) = f1(z1; /1)/(z,; t2\zt; tj, получим после сокращения
на f1(z1; г^)
9f {Z'2' dt! Zl~l} = ~ ^(г-' ^ +
+ ytr {тЫ~АЬ(г*' **)v(**)&(z*. ^|Zi; *1)]} ¦
Это уравнение совпадает с (56). Таким образом, плотность перехода
марковского процесса, определяемого стохастическим дифференциальным
уравнением (32) / (z; t | ?; т), рассматриваемая как функция двух первых
аргументов t > т и z, определяется уравнением (56). Начальное условие для
переходной плотности, очевидно, имеет вид
f(z; т|?; т) = 6(г -?).
Мы получили уравнение (56) как частный случай уравнения (48), когда W
{t)~винеровский процесс. Уравнение (48) и уравнение (38), из которого оно
было выведено, справедливо в более общих ситуациях, для любого процесса с
независимыми приращениями W (t). Однако уравнение (56) оказывается
справедливым в некоторых случаях, когда уравнение (38) не имеет места
вследствие того, что математическое ожидание в его правой части не
существует.
Определив одномерную плотность /у (z; t) и переходную плотность /(z; 11
?; т) марковского процесса Z(t) путем интегрирования уравнения (56) при
соответствующих начальных условиях, можно найти все конечномерные
плотности процесса Z (t) по формуле (п. 2.1.3)
/П (^1> • • • > • 1 ^п) = /l (^1> ^l) / (^2> ^2
I ^1> ^l) • • •
• • • / (V. tn | zn_!; ta.t) при
Если tPl^tPt^.. .^tPn для перестановки (Pi,--.,pn) чисел (1, ..., p), то
n-мерная плотность fn(zlt ..., z"; ..., tn) вы-
ражается той же формулой с заменой всех индексов 1, .. ., п
соответствующими индексами ри . . ., рп.
302 гл- 5- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
5.3.8. Случай полиномиальной правой части и независимого от состояния
системы коэффициента при белом шуме. Если функция а (z, t) в уравнении
(32) представляет собой полином относительно z, а коэффициент при белом
шуме b(z, t) не зависит от z, b(z, t) = b(t), то уравнения (38) и (41)
сводятся к одному и тому же линейному уравнению в частных производных,
порядок которого равен степени полинома a(z, t).
> Чтобы доказать это, заметим сначала, что если b(z, i) = b(t) не зависит
от г, то уравнения (38) и (41) могут быть переписаны в виде
ЪфЛ = MiVa (Z, t) e*Tz -г г (Ь (0Т М 0 gi (Я; г), (57)
dgnjb^bniJи ¦¦¦, t )ехр %lZitk)\ -у
dt"
V k- i )
l(p{tnykn\ . .., Я"; r,....../").
Теперь обратим внимание на то, что дифференцирование характеристической
функции
gx(X; t) = Mei>Tz">
по Я приводит к появлению множителя iZ(t) под знаком математического
ожидания:
dgi (Я; О
дХ
iMZ (/) eik z"\
где д/дк = [д/дкг. . . д/дкр]т-оператор градиента в /7-мерном
пространстве. Иными словами, дифференцирование функции gy(A; t) по
координате ЯА вектора Я приводит к появлению множителя iZh под знаком
математического ожидания. Отсюда следует, что
MZ\l... Z>e*r* = -^r -Е- Mer'-T z - "(Я; 0
d (iXx)'1.. .a a (^p.. . д (ixpy:p
при любых ku .. ., Таким образом, каждому члену поли-
нома относительно компонент вектора Z под знаком математического ожидания
в (57) соответствует точно такой же член с компонентами вектора градиента
d/d(iK). Отсюда следует, что если функция a(z, t) представляет собой
полином относительно 2, то вектор Z в уравнении (57) под знаком
математического ожидания можно заменить вектором djd(iX) вне знака
математического
• • Т
ожидания. Тогда, учитывая, что Me1'- z = gi(7; t), можно переписать
уравнение (57) в виде
dgi(7; t) Г т / д
dt
/Ят а
§ 5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 303
Это уравнение в частных производных записано в операторной форме. Чтобы
привести его к явной форме уравнения в частных производных, необходимо
