Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
U (/, tg) K0U (t, tg
+ j u(t, x)b (x) v (x) b (x)т и (t, x)* dx
-Ц
u(i, :0)K0u(t, tg)*-t \ u(t, x) b (x) v (x) b (х)т и (t, x)*dx
a (t)T
b(t)v(t)b(ty.
Но выражение в квадратных скобках в силу (27) равно К (t). Следовательно,
или
К (t) = a (t) К (0 -г К (?) a (t)T + b (/) v (t) b (/)т,
K = aK + KaT + bvb\ М
(28)
Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение для ковариационной
матрицы значения случайного вектора Z при данном t. Интегрируя это
уравнение при начальном условии K(tg) = К0, можно вычислить
ковариационную матрицу случайного вектора Z.
5.2.5. Дифференциальное уравнение для момента второго порядка. Чтобы
вывести дифференциальное уравнение для начального момента второго порядка
Г(Д вектора Z, положим в (25) Д = А = Тогда будем иметь
Г(/) = К(0 + m(t)m(ty,
282 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
или, опуская аргумент t,
Г = К + тт7. (29)
> Дифференцируя эту формулу, находим Г = К - + mtv7.
Подставив сюда выражения m и К из уравнений (26) и (28), получаем
Г = аК + Ка1 + bvbT + amtrf 4- a0mT -f mmTar + ma\,
или, пользуясь формулой (29),
Г = аГ + Гат +bvbT + a0mT + maJ. М (30)
Интегрируя это дифференциальное уравнение после уравнения (26),
определяющего пг, при начальном условии Г(^,) = Г0 = = Kn + m0ml, можно
вычислить начальный момент второго порядка случайного вектора Z.
Очевидно, что непосредственное численное интегрирование уравнений (26) и
(28) или (26) и (30) несравненно проще, чем определение m и К или m и Г
по формулам (23), (24) и
(25) с предварительным многократным интегрированием однородного
уравнения и = аи с начальным условием и (т, т)=/ при различных т,
необходимым для нахождения и (t, т) как функции двух переменных.
Дифференциальные уравнения (26) и (30) для моментов первого и второго
порядков решения линейного стохастического дифференциального уравнения и
более общие уравнения для любых моментов решений линейных и нелинейных
стохастических дифференциальных уравнений были впервые выведены одним из
авторов в [55]. Значительно позже уравнения (26) и (28) были получены
независимо от автора американским ученым Дунканом [27].
Заметим, что уравнения (26), (28) и (30) справедливы для любого белого
шума в уравнении (21), а не только для белого шума в строгом смысле. Это
следует непосредственно из результатов п. 3.3.2, где было показано, что
формула (22) для решения уравнения (21) справедлива для любого белого
шума V.
Так как нахождение одномерных моментов первого и второго порядков
достаточно для многих задач практики, то изложенная в этом параграфе
статистическая теория линейных систем, описываемых стохастическими
дифференциальными уравнениями, основанная на моментах первого и второго
порядков, достаточна для многих приложений.
5.2.6. Дифференциальное уравнение для ковариационной функции.
Основываясь на формуле (24), выведем уравнение для ковариационной функции
К (it, t2) случайного процесса Z(t), расемат-
§ 5.2. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 283
риваемой как функция Д при любом фиксированном Д. Для этого перепишем
формулу (24) для случая Д < Д:
h
/С(Д, Д) = и (Д, t0)K"u(t2, Д)*+$ П(Д, х)Ь(х^(т)Ьт(х)ц(Д, х)Мт. >
Дифференцируя эту формулу по Д, найдем
dKiitlh) = " K0ut2(t2, Д)*+ (Д, х) b (х) V (х) Ь(х)т ы<ДД, x)*dx=
= и (Д. t0)K0u(t2, Д)*ат(Д) +
h
+ ^ы(Д, т) Ь(т) v(x) Ь(х)т ц (Д, х)*ат(Д)<Дг,
ИЛИ
д)
dt2
Д)а(Д)т. (31)
Начальное условие для этого уравнения имеет вид Д" (Д, Д) = = /С (Д). ^
Интегрируя уравнение (31) при различных значениях Д, получим ряд сечений
ковариационной функции К (Д, Д) при Д > Д. После этого К (Д, Д) при Д < Д
определяется формулой (2.27):
/С(Д, t2) = K (Д, Д)т.
Уравнения (26), (28) и (31) полностью определяют математическое ожидание
и ковариационную функцию процесса Z(7).
Пример 6. Для случайного процесса X (t), определяемого уравнением примера
2,
Х + аХ = уг2DaV,
где V - белый [шум единичной интенсивности, уравнения (26),?(28)- (30) и
(31) имеют вид
тх-~атх = 0, ?Д = -2aDx-\-2Da, KX=DX,
Гх = -2а1Д + 2Да, дКх(^' h) =-aKx(h, Д).
Начальным условием для последнего уравнения будет условие /<Д (Д, Д)=
= Д*(Д).
Пример 7. Для векторного процесса, определяемого дифференциальными
уравнениями примера 3,
X X 2-\-Q\V, Х2 - -b^X2 - 2aX2-\-q2V,
где V - белый шум [единичной интенсивности, уравнения (26), (28), (30) и
(31) имеют вид
m-i - m2, т2 - -¦ Ь2т\ - 2 ат2,
М-* !?]+[?]"¦
284 гл. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
О 1 ' -'Ъ2 -2 а dKUu t2) dt 2
Пример 8. Для^гслучайного процесса X (t), определяемого уравнением
X (а - 2at) X - (р 4-2at) (a-Xbt) b 4- be^V,
где V - белый шум интенсивности v - 2t, уравнения (26), (28). (30) и (31)
имеют вид
тх-~ (р- 2at) щх - (p-f 2e/) (a-\-bt)-'rb,
Dx = 2 (р -42а/) Dx + 2ЬЧет, Кх -D.v,
Г*=-2 (р4-2а/) Tx + 2b2tem - 2 (р4-2at) (а-\ Ш) тх-'-2Ьтх. dKx(ti,
ti)/dt2 = (р + 2а0 Кх (Д, /2).
5.2.7. Стационарные процессы в стационарных линейных системах.
Рассмотрим устойчивую стационарную линейную систему (21) под действием
