Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
00
<?1 С (iw + 6i) (<?21Ш -62i?i) . 2я
- 00
j | (t(o)2-j-2at(o-r- 62 |2 d* - D(a-y^)'
- 00
(0)-i) i "*-wl-
- CO
Взяв случайное начальное значение 7С10 = А1(^0) с ковариационной
матрицей, элементы которой определяются выведенными формулами, получим на
первом выходе формирующего фильтра стационарную случайную функцию A (t) с
заданной спектральной плотностью sv (со).
5.1.6. Формирующий фильтр для стационарного векторного процесса.
Аналогично решается задача нахождения формирующего фильтра для
стационарной векторной случайной функции X(t) с рациональной спектральной
плотностью sx(со). В этом случае все элементы матрицы sx (со)
представляют собой отношения полиномов относительно со. На основании
(4.24) для нахождения формирующего фильтра для X (/) достаточно
представить спектральную плотность sx (со) формулой
s* (со) = F (ico)"1Я (ico) Я (ico)* F (ico)-1*,
где F(s) и Я(s)-матрицы, все элементы которых являются полиномами
относительно s, причем все корни определителей этих матриц F (s) и Я (s)
лежат в левой полуплоскости комплексной переменной s. Представление
матрицы спектральных и взаимных спектральных плотностей s^co) компонент
векторной стационарной случайной функции в таком виде называется
факторизацией матрицы s.,. (со). После факторизации спектральной
плотности s.,. (со) можно написать дифференциальное уравнение для
формирующего фильтра, привести его к системе дифференциальных уравнений
первого порядка (12) и найти начальное условие для него, обеспечивающее
стационарность процесса на выходе фильтра совершенно так же, как в п.
5.1.5.
§5.1. ПРИВЕДЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
275
Пример 4. Спектральная плотность двумерной стационарной векторной
случайной функции X (/) определяется формулой
ki
k\k2
Sx (СО) :
"I + ОГ
k\k%
аух2- ("1-*2) iw + co2
aiO.2 - (оц - a2) ico -
Найти формирующий фильтр для X (/). В данном случае
s.v ((r)) = [ (й1 Следовательно,
Ж 1 о ~ ki
0 (а2 -г г'ш) 1. к2
[кф,
tti + co2
(од - ico)' О
О
(a2 - ico)'
F(s)-
од -~s 0
a2-
H(s) =
и система дифференциальных уравнений формирующего фильтра имеет вид.
Xi~\-cciXi = k^V, Х2 -J- сс2Х2 = k2V,
где V - белый шум интенсивности 2я.
Взяв случайное начальное значение вектора X0 = X(f0) с ковариационной
матрицей
kx(0)= [ sx (со) dm =
Zlky&i
2nk1k2/(0L1 -г аг)
2лк1к2/(а1 -nk\! a2
¦Кг)
получим на выходе фильтра двумерный стационарный векторный случайный
процесс с заданной спектральной плотностью sx (со).
5.1.7. Формирующий фильтр для процесса, приводимого к стационарному.
Изложенный в пп. 5.1.4-5.1.6 метод позволяет также находить формирующие
фильтры для случайных процессов, приводимых к стационарным. Случай
процесса, приводимого к стационарному преобразованием самого процесса,
тривиален. Если Х(/) = ф(Х1(/), /), где ^(Z) - стационарная случайная
функция, то, подставив это выражение в дифференциальное' уравнение (8),
получим уравнение со стационарной случайной функцией в правой части.
Поэтому остается рассмотреть случай процесса X (/), приводимого к
стационарному преобразованием аргумента.
> Пусть X (t) = ф (Xi (ср (/)), t), где ^(s) - стационарная случайная
функция с рациональной спектральной плотностью, а ф(/) - монотонно
возрастающая дифференцируемая функция. Построив формирующий фильтр для
случайной функции X, (s), напишем дифференциальное уравнение этого
фильтра и соответствующее начальное условие в виде
dX1 - аХх ds -j- b dWlt Х1 (ср (/0)) = Ха,
(18)
где а и b-постоянные матрицы соответствующих размеров, а ^i(s) - процесс
с некоррелированными приращениями с
276 1'Л. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
ковариационной функцией
KWl(su s.2) = kl (min (slt s2)), k1(s) = k1(s0) + v1(s -
sa),
где Vj - постоянная интенсивность стационарного белого шума V1 (s) = Wx
(s), a s0 = cp(/0). Рассмотрим случайный процесс W (t) = = иА(ф(0)-
Очевидно, что W (t) - процесс с некоррелированными приращениями, так как
монотонно возрастающая функция s = cp(/) отображает любые
непересекающиеся интервалы на оси s на непересекающиеся интервалы на оси
t. Ковариационная функция процесса W (t) определяется очевидной формулой
Kw(tu t2) = KWl(4 (ti), q- (^а)) = ^(min(ф(/г), Ф (/,))),
где
t
k (t) = (ф (0) = К (ф (to)) + vl [ф (t) - Ф (*")] = k (to) + ) '5Ф (Я dr.
t о
Отсюда видно, что интенсивность белого шума V (t) =W (t) равна v(0 =
v^(0. Переходя в уравнении (18) к переменной t, получим
dX 1 (ф (()) = ац> (t) Хх (ф (/)) dt + b dW, Хх (ф (*")) = Х0.
Вводя случайный процесс Х2 (t) = Аф (ф (/)), представим это уравнение в
виде
dX2 = щ (t) Х2 dt + b dW, Х" (t0) =-• Х"
или
Х2 = Кр (t)X2 + bV, Xo(to) = Xt. (19)
Таким образом, формирующий фильтр в данном случае описывается уравнением
(19) и формулой X (t) = ф (Х2 (/), t). М
Обратим внимание на то, что, написав уравнение формирующего фильтра для
случайной функции (s) в форме обычного дифференциального уравнения с
белым шумом в правой части к сделав в этом уравнении замену переменных s
