Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Q (м) = F (гм) F (- гм) = | F (гм) |2,
где F (т) - полином относительно (гм) с положительными коэффициентами.
Представив числитель и знаменатель спектральной плотности sx(0)) такими
разложениями, получим следующее выражение для спектральной плотности
s^(m):
sx(u) = \H(i(d)/F(iu)\*. (10)
Заметим теперь, что функция
Ф (s) = Н (s)/F (s) (11)
представляет собой передаточную функцию некоторой стационарной линейной
системы. Так как умножение комплексного числа на мнимую единицу
представляет собой поворот вектора, изображающего это число, на угол л/2
против часовой стрелки, то верхней полуплоскости комплексной переменной м
соответствует левая полуплоскость комплексной переменной s = t'co.
Следовательно, все корни полиномов Н (s) и F (s) лежат в левой
полуплоскости переменной s, и функция Ф(х), определяемая формулой (11),
представляет собой передаточную функцию устойчивой стационарной линейной
системы.
Сравним теперь формулу (10) с (4.25). Вспомнив, что стационарная
случайная функция с постоянной спектральной плотностью s0 представляет
собой белый шум интенсивности 2лд0 (п. 4.2.6), приходим к заключению, что
стационарную случайную функцию X (/) с рациональной спектральной
плотностью sx (ю) можно рассматривать как результат прохождения белого
шума с единичной спектральной плотностью через устойчивую стационарную
линейную систему с передаточной функцией Ф (s), определяемой формулой
(11). Следовательно, система с передаточной функцией Ф (s) = Н (s)/F (s)
представляет собой формирующий фильтр для случайной функции X (/).
На основании результатов п. 1.3.6 стационарная линейная система с
передаточной функцией Ф (s) = Н (s)/F(s) описывается линейным
дифференциальным уравнением с оператором F(D), D~d/dt, в левой части
(применяемым к выходному сигналу) и оператором Н (D) в правой части
(применяемым ко входному сигналу). Принимая во внимание, что входным
сигналом форми-
270 гл- 5- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
рующего фильтра служит белый шум V (t) с единичной спектральной
плотностью, интенсивность которого равна 2я, а его выходным сигналом
является интересующая нас случайная функция X(t), получаем
дифференциальное уравнение формирующего фильтра
F\(D)X = H\{D)\V
или, обозначив коэффициент при sk в полиноме F (s) через ак (& = 0, 1,
..., п), а коэффициент при sn в полиноме Н (s) - через Ък (k =--- 0, 1, .
. ., т),
п т
k-0 ft=0
Таким образом, формирующий фильтр для случайной функции X (t)
представляет собой систему, описываемую линейным стохастическим
дифференциальным уравнением л-го порядка. Заменив это уравнение
соответствующей системой дифференциальных уравнений первого порядка (пп.
1.3.4 и 3.3.3), получим уравнения формирующего фильтра в виде
Xik = Xuk + 1 (6=1, - т- 1),
Xik = Xltk+1 + qkV (k = n - m, . . ., л- 1)
П
^ln - - апХ ak-iXlk qnV,
k=\
(12)
и X(t) = a(X1(t), t) = Xlx(t), Xx(t) = [vYn (?) . . . Xln(t)Y, где Q п-т*
•••> постоянные коэффициенты, определяемые формулами (1.46):
Q п - т &п "
Яь = ап1\Ьп-ь~ 2 an-k+hqh) (k = n - m+l4...,n).< (13)
h-n-m
В некоторых случаях желательно сформировать случайную функцию X (t) из
белого шума V (t) единичной интенсивности. Спектральная плотность такого
белого шума равна 1.2л. Следовательно, представляя спектральную плотность
sx(a) случайной функции X (/) в виде (10), необходимо в таких случаях
выделить из j // (ico)//7 (ico) j2 множитель 1/2я. Этого можно достичь,
включив в полином Н (т) дополнительный множитель V~2я или в полином
F(iсо) дополнительный множитель 1/У2я. В результате вместо (10) получим
sx (ю)= \ Н {i(a)/F (т) I2 (1/2я). (14)
Изложенный метод представления спектральной плотности sx(o)) в виде (10)
обеспечивает первое условие применимости
§5.1. ПРИВЕДЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
формулы (4.25) - асимптотическую устойчивость формирующего фильтра.
Второе условие применимости формулы (4.25), обеспечивающее стационарность
случайного процесса на выходе формирующего фильтра, состоит в том, что
белый шум V должен действовать на входе формирующего фильтра бесконечно
долго (на практике достаточно долго). И лишь при специальном выборе
случайных начальных условий для уравнений (12) можно обеспечить
стационарность процесса на выходе формирующего фильтра при любом заданном
t0. Поскольку в данном случае речь идет не об исследовании реального
фильтра, а лишь о применении его как инструмента теоретического
исследования для приведения дифференциальных уравнений к стохастическим
уравнениям, мы имеем полную свободу в выборе начальных условий. Поэтому
их можно выбрать так, чтобы обеспечить стационарность процесса на выходе
формирующего фильтра при заданном начальном моменте времени t0. Покажем,
как это можно сделать.
> Как известно, стационарный случайный процесс имеет постоянную
ковариационную матрицу (дисперсию в случае скалярного процесса). Иными
словами, ковариационная матрица значения стационарного случайного
процесса Хг (t) в любой момент времени t не зависит от t и равна значению
