Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
gn (К, ¦¦¦ к, •¦¦,*") = М exp {i).JZ (tj + ... - iKZ (/,)} (40)
-• n-мерная характеристическая функция вектора состояния системы Z. Дав
последнему аргументу tn при Д < t2<- . . <7" приращение At и повторив
почти дословно рассуждения предыдущего пункта, получим следующее
уравнение для "-мерной характеристической функции процесса Z(t)\
jf-gnik, , К: кг .. ., tn)*=M{ikla(Z(tn), tn) + %(b{Z(tn), /")TV>
0}exp{/^Z(^)+...4-/ASZ(/B)} (" = 1,2, (41)
Правая часть этого равенства определяется "-мерным распределением
процесса Z(t), т. е. зависит от g"(hu . • ., Я"; tu . . /").
Следовательно, (41) представляет собой уравнение относительно
§п (^т> • • • г ^п' кг ¦ ¦ ¦ г к)ш
Чтобы найти начальное условие для уравнения (41), положим в (40) tn =
tn.i.
gn (^1 ' ¦ ¦ ¦ ' ^п' кг • • -г к-1г k-l)
= М exp {HIZ (С) -г . . . -f i (ZJ_J + Я?) Z (г"_х)}.
Правая часть этого равенства представляет собой ("- 1)-мерную
характеристическую функцию процесса Z(t) с Яп_1( замененным суммой Zn_T-
bZ". Следовательно,
g 11 {кг ¦ • ¦ г Я"; кг ¦ ¦ ¦ г к-1г k-l) ~
~ gn- 1 (^1, 1 • С-21 C-lt V' ^1' ¦ ¦ ¦ г k-l)- (42)
Это равенство и служит начальным условием для уравнения (41) при к < t.2
<¦ ¦ ¦ < in-г < (п-
Чтобы найти g"(kt ¦ ¦ ., Я"; С, . . /") при любых . . ., tn,
предположим, что для некоторой перестановки (рг, . . ., рп) чисел
(1,...,") tPl < tp, < ¦ . . < /Рп_, < /Рп (такая перестановка всегда
существует). Тогда в силу второго условия согласованности конечномерных
распределений (п. 2.1.2)
gn(X 1, . . ., Ап; /х, . . ., tn) = gn(ZPl, - - - г кпг кч ¦ ¦ ¦ г кп)-
(4^)
Это равенство выражает gn{k, - г С, . . ., in) при всех Ях, . . ., А"; С,
. . ., если эта функция известна для любого упорядоченного набора п
моментов времени. ^
Таким образом, уравнение (38) с начальным условием (39), уравнение (41) с
начальным условием (42) и условие согласован-
§ 5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 293
ности конечномерных распределений (43) при я = 2,3,... последовательно
определяют все конечномерные распределения вектора состояния системы
Z(t). По теореме А. Н. Колмогорова (п. 2.1.2) конечномерные распределения
случайной функции однозначно определяют ее распределение в
соответствующем функциональном пространстве. Следовательно, уравнения
(38) и (41) с начальными условиями (39) и (42) полностью определяют
распределение состояния системы в соответствующем функциональном
пространстве. В прикладных задачах это пространство в случае нормально
распределенного белого шума V (винеровского процесса W (t), п. 3.4.3)
всегда будет пространством непрерывных функций на любом конечном
интервале [/", Т], а в случае наличия в № (/) пуассоновских компонент-
пространством ограниченных кусочнонепрерывных функций с не более чем
счетным множеством разрывов первого рода.
Уравнение (41) может быть также выведено путем нахождения математического
ожидания стохастического дифференциала функции ехр {iX[Ztt + . . . +
+ ifZnZ (/")} процесса Z (/")
при фиксированных t1, ..., tn_1, вычисленного по формуле
дифференцирования сложной функции (3.61) или (3.75).
В случае непрерывно-дискретной системы, вектор состояния которой (в общем
случае расширенный) определяется уравнениями (32а), таким же путем
получаем уравнение для я-мерной характеристической функции gn(k lt . . .,
Я"; tlt ..., tn) случайного процесса Z (/) = [Z' (/)т Z" (ty Z'"(/)T]T:
dg" (К, • • •, К\ А, • • •, tn)/dtn =
= М {iX'nTa(Z(tn), ta) + x(b(Z(t"), tnyi'n\ /")}х
х ехр {illZ (ty + ... -f iXTnZ (/")}, (41a)
и формулу для значения gn (Ях, . . ., Я"; tx, . . ., tn) при /" = /lfc+1)
^ -Ss t л-i t1.
gnih, •••, К; tlt ..., tn_1, tk+1)) = Mexp {iX{Z(t1)+ .. .
... + ikl^Z (tn_y + i (K+K'1) Zk+1 + (z*. Vk)}. (416)
В точке t" = tik+1)g"(X1, ..., Я"; tlt ..., tn) скачкообразно изменяется
от
gn(Xu . .., Xn\ tu . .., /<*-" -0) =
-M exp {iXjZ (ty -f .. . -f ikl_xZ (t,,_y +
-f- iXJZk+1 -j- iXyZk -(- iXn TZk}
До значения g"(Xu tu ..., tn_1, tik^1)), определяемого
формулой (416).
Правая часть (416) полностью определяется известным распределением
случайной величины Vk и совместной характеристической функцией gn(K, ...,
Я"; tu ..., tn_u tk+1) - 0) случай-
294 гл. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
ных величин Z(ty, Z(tn_i), Z'k+1, Z"k, Z'k. Таким образом, уравнение
(41а) с начальным условием (42) и формула (416) определяют эволюцию и
скачкообразные приращения g"(Xи ..., Хп\ tu . .., /") в точках tikil) при
возрастании tn, начиная со значения t"_1.
5.3.3. Конкретная форма уравнений для характеристических функций.
Предположим, что существует одномерная плотность fi(z\ t) вектора
состояния системы Z. Тогда математическое ожидание в (38) легко
вычисляется и уравнение (38) принимает вид 00
dgl% t} = J [iZTa(z, t)-r%(b(z, t)'c X; t)]eaT* f^z; t)dz. (44) - 00
С другой стороны, плотность /x(z; t) выражается через характеристическую
функцию gi(^.; t) формулой (ТВ, п. 4.5.2)
00
(2; ^ = J (45)
- оо
где р-размерность вектора состояния Z, а интеграл по каждой компоненте р-
