Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
k-о R
Обычно случайные возмущения в дискретных элементах систем автоматического
управления всегда независимы от возмущений, действующих на объект
управления, поэтому случайные величины Nk в (1.67а) не зависят от N (t).
Вот почему обычно принимают белый шум V (t) и последовательность {Vsj
независимыми.
5 5.2. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 279
§ 5.2. Моменты вектора состояния линейной системы
5.2.1. Формула для вектора состояния. Рассмотрим линейную систему. В
этом случае уравнение (20) имеет вид
где а, ав и b в общем случае могут быть функциями времени t, а V-белый
шум, интенсивность которого v тоже в общем случае может быть функцией
времени t.
Для нахождения моментов первого и второго порядков случайного процесса
Z(t), определяемого линейным дифференциальным уравнением (21), нет
необходимости в том, чтобы белый шум V был белым шумом в строгом смысле,
т. е. производной процесса с независимыми приращениями; достаточно, чтобы
он был просто белым шумом (т. е. производной процесса с
некоррелированными приращениями), так же как и в теории § 3.3. Поэтому
везде в этом параграфе будем считать V произвольным белым шумом. В
остальных параграфах, изучая конечномерные распределения процесса Z (t),
будем всегда считать V белым шумом в строгом смысле.
Пользуясь формулой (3.32) для решения линейного стохастического
уравнения, выразим вектор состояния системы Z формулой
Z{t) - u (t, (0) Zg + J u(t, т) b (т) V (т) dx + jj и {t, т) a0 (т) dx,
(22)
где u(t, т)-матрица, определяемая как функция t однородным
дифференциальным уравнением du/dt = a{t)u и начальным условием ы(т, т) =
/.
5.2.2. Формулы для моментов первого и второго порядков. Так
как математическое ожидание белого шума равно нулю, то в силу (2.64) и
(22) математическое ожидание вектора состояния системы Z (t) определяется
формулой
где т0 - математическое ожидание начального значения Z0 вектора состояния
Z. Ковариационная функция вектора состояния Z в соответствии с (2.70)
определяется формулой
Z = aZ а0 bV
(21)
m(t) = u ((, (0) rtig^r^lu (t, т) а0 (т) dx,
(23)
К {tlt /2) = U (tu tg) KgU {t2, tg)* +
min (t" t2)|
+ ^ и^1у x)b (x) v (x) b(x)T u(t2, x)*dx, (24)
280 ГЛ. 5- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
где Ко - ковариационная матрица начального значения Z., вектора состояния
Z. При выводе этой формулы мы учли:, что начальное состояние системы Z0
не зависит от белого шума 1/(/) при t ;' t" и что u(t, т)=0 при т у /.
Последним обстоятельством объясняется то, что верхний предел
интегрирования равен min(/1, Кроме того, мы учли, что коэффициенты
уравнений реальных систем всегда действительны, в то время как элементы
матрицы u(t, т) могут быть комплексными даже в этом случае.
Определив математическое ожидание и ковариационную функцию вектора
состояния Z, можно найти его момент второго порядка по формуле (2.23),
которая в данном случае, когда функции m(t) и K{h, (¦,) действительны,
дает
Г(Ч, t2) = K(tu t2)Jrtn(t1)m{i0Y. (25)
5.2.3. Дифференциальное уравнение для математического ожидания. В
задачах практики обычно достаточно находить вероятностные характеристики
вектора состояния системы Z в каждый данный момент t (определяемые
одномерным распределением), т. е. только значения K(t, t) = К (t) и Г(/,
/) = Г(ф ковариационной функции и момента второго порядка. Иными словами,
достаточно найти математическое ожидание, ковариационную матрицу и момент
второго порядка вектора состояния Z з каждый момент времени t. Само собой
разумеется, все эти величины для линейной системы можно определить по
формулам (23), (24) и (25) при i1 = ti - t. Однако в случае линейной
системы и г можно вычислить значительно проще, а именно интегрированием
соответствующих линейных дифференциальных уравнений.
> Чтобы вывести дифференциальное уравнение для математического ожидания
вектора Z, продифференцируем формулу (23):
t
/"(/) = ",(/, /")/""¦¦' ] u,(t, ()(/" (т),л <.• (,')
/о
t
= a(t) u(t, t0)m" ]-[ и (t, T)a0(t)dx +a0(t).
Но выражение в квадратных скобках равно m(t) в силу (23). Следовательно,
или
т (t) = а (/) т (I) ; а0 (t),
т - ат-г-а0. Л (26)
Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение для математического
ожидания вектора Z. Интегрируя это уравнение при начальном условии m(t0)
= та, можно вычислить математическое ожидание случайного вектора Z.
§5.2. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 281
5.2.4. Дифференциальное уравнение для ковариационной матрицы. Чтобы
вывести уравнение для ковариационной матрицы К(() вектооа Z, положим в
(24) Д = /, = /:
К (0 = A (t, t) = и (t, /") Kgti (t, /")* +
t
+ ^ и (t, x) b (x) v (x) b (т)т u (t, x)* dx. (27)
f 0
> Дифференцируя эту формулу no t, получаем К (t) = о, it, tg) KgU (/,
/")*--
4- ¦ o; (i, x) b (t) v (x) b (т)т u (/, t)* dx-\-u (t, t0)K0ui(t, /")*-]-
+ \ и (/, x) b (x) v (x) b (x)Tut (t, x) dx~yb(t) v (/) b (tf
fo
или, так как иt(t, х) =- а (<) и (/, х), ь',(/,т):: т)*а(/)т,
К( t)
