Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
\-At)- W (t) процесса W (t), и условное математическое ожидание величины
е'^ А1Г относительно Z совпадает с безусловным. А этим мы воспользовались
при выводе формулы (36).
Уравнение (38) было впервые получено в начале сороковых годов одним из
авторов [55], который, по-видимому, первым изучал стохастические
дифференциальные уравнения с произвольным процессом с независимыми
приращениями W (t). В более ранних работах С. Н. Бернштейна [5, 6] и в
более поздней работе Ито [30] изучались только стохастические
дифференциальные уравнения с винеровским процессом W (t).
Уравнение (38) можно также вывести, пользуясь формулой Ито (3.61) (в
случае винеровского процесса W (t)) или обобщенной
*) Независимость Z0 от V (f) при t^t0 необходима для того, чтобы
состояние системы в любой момент было независимым от будущих приращений
процесса W (^).
290 ГЛ/ 5- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
формулой Ито (3.75) (в случае произвольного процесса с независимыми
приращениями W (/)). Для этого достаточно найти по формуле (3.61) или
(3.75) стохастический дифференциал функции eiiTz(t) процесса Z (t) и
взять его математическое ожидание. В результате получится уравнение (38)
с функцией %(р; И, определяемой соответствующей формулой п. 5.3.5.
Функцию х(р;Д) можно трактовать иначе. Положив s = t-\-kt и заметив, что
величина Me'v- AW = Мё^ I"7(S>-117(0] представляет собой
характеристическую функцию приращения процесса W (/) на интервале (t, s),
Ясно, что эта формула эквивалентна формуле (37). Чтобы убедиться в этом,
достаточно подставить в (37а) выражение /Т(р; t, s) = hy (р; s)//i! (р;
t), вытекающее из (3.33), выполнить дифференцирование по s и положить s =
t.
Теперь рассмотрим случай непрерывно-дискретной системы, вектор состояния
которой Z = [Z'TZ"T]T (в общем случае расширенный) определяется системой
уравнений
где Zk-значение Z (t) при t = t{k\ Zk = \Z'g Z"kT]T = Z (t(k)) (k = 0, 1,
2, ...), a, b, (Dfc-функции указанных аргументов, \Ak(t) - индикатор
интервала Ак = [/<ft), tik~l)) (k = 0, 1, 2. . .), V-(белый шум в строгом
смысле, {Vk}--последовательность независимых случайных величин,
независимая от белого шума V. Одномерную характеристическую функцию (р;
t) процесса с независимыми приращениями W (t), слабая с. к. производная
которого является белым шумом V, и распределения случайных величин Vk
будем считать известными.
Вводя случайные процессы
Д/[еЩТДИГ _ /j (ц. t, s),
приходим к выводу, что
lim
ft(p; t, t + Ы) - /i(p; t, t)j
Дг 'Г
_ ' dh (р; t, s)
ds s-t
Таким образом,
X(p; /) = [d/i(p; t, s)/ds]^t.
(37a)
Z' = a(Z,t) + b(Z,t)V,
(32a)
S 5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 291
выведем так же, как и раньше, уравнение для одномерной характеристической
функции
g! (Я; 0 = MeiklJW = м exp {t//TZ' (/) + ja"tZ" (/) + ik'"TZ''' (/)} =
= М exp {ia'tZ' (t) + ik''TZ; + ik'''TZ'k}
процесса Z(t):
Щр =. M {ik,Ja (Z, t) + x (b (Z, tyk0} (38a)
Принимая начальный момент t0 = t{0), получим начальное условие для
уравнения (38а):
Я, (к; t0) = Мехр {/(Я'т- k'"')Zo + ik"'Zo} = ?"([Я'Т + Я,,,ТЯ"Т]Т),
(39а)
где go(p)- характеристическая функция начального значения Z0 = Z(/0)
процесса Z(t).
В момент tik) значение gx (Я; /), очевидно, равно
Mexp{i(k'T-yk'"')Z^ + ik"TZZ},
т. е. равно значению gy ([/.'т-г-Я,,'тЯ''т]т) характеристической функции
gft(p) случайной величины Zl! = [Z'k1 Zy]T. Если функция Др; t) является
непрерывной функцией t при любом р, то ёУ(Я; ^стремится к
М exp {ia'tZ* ,, + ik"TZl + ik'"TZk}
при t ->¦ t(k+1), т. е. к совместной характеристической функции gh(k',
к", к"') случайных величин Z'k+1, Z"k, Z'k,
gl{k-tik+1)~0)= lim gx{k\ t) = g'k{k', k", k'").
В момент tik+1) функция gy (a; /) меняет свое значение скачком и
становится равной
М ехр {/ (а'т + Я"'т) Z^+1 - ik"TZl+1} = gk+1 ([Я'т + a"'t а"Дт).
Для вычисления этого значения подставим сюда выражение для Z'i+1 из
последнего уравнения (32а). Тогда получим
gl(k; t(k+1)) = М ехр {г (л'т -j- к'"1) Z'k+1 + г'Я,"тоэА (Zk, Vk)}.
(386)
Вследствие независимости последовательности случайных величин {Vk} от
белого шума V и независимости Vk от V0, Vlt . . ., V*_, случайные
величины Zk и Z'k+1 не зависят от Vк. Следовательно, математическое
ожидание в правой части уравнения (386) полностью определяется известным
распределением случайной величины и совместной характеристической
функцией g'k{k', к", к'") случайных величин Z'k+1, Z'k, Z'k, т. е.
функцией g1 (к; Цк+ы_^_Щ' Таким образом, уравнение (38а) с начальным
условием (39а) и формула (386) определяют эволюцию одномерной харак*
292 гл- 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
теристической функции (Я; t) процесса Z (/)^=[Z'(/)T Z"(t)T Z"'(t)T]T и
ее скачкообразные приращения в моменты t{k) (&=1,2, ...).
5.3.2. Конечномерные характеристические функции. Совершенно так же
выводятся уравнения, определяющие другие конечномер-ные
характеристические функции состояния системы [62, 63].
> Пусть
