Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае, когда процесс W (7) определяется формулой (3.42),
W(t) = WQ(7)+ S c(x)P(t, dx),
R4
где ^0(7) - винеровский процесс, a P(t, В)- независимая от W0 (7)
пуассоновская мера (п. 3.4.5), дифференцируя формулу (3.47) для
одномерной характеристической функции процесса W (7) по 7 и учитывая, что
математическое ожидание пуассоновского процесса равно интегралу от его
интенсивности, и формулу для ковариационной функции винеровского процесса
(п. 3.4.3), получим
Х(Р; 7) = - JrPTv0(7)p-f- ^ [е'РТс <*> - 1 - tpTc (x)] vp (7, x)dx,
ki
где v0(7) - интенсивность винеровского процесса И70(7), а Vp(7, x)dx~
[d\i(t, x)/df\dx-интенсивность пуассоновского потока скачков процесса W
(7), равных с(х) (пп. 3.4.4 и 3.4.5).
5.3.6. Уравнения для конечномерных плотностей в случае винеровского
процесса. Рассмотрим теперь частный случай винеровского процесса W (7). В
этом случае в соответствии с (52)
%(b(t, t)T Я; t) = -\vb{t, 7) v (7) b (?, ty к
298 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
и уравнение (48) принимает вид 00 00
d(lF:'i = wi § [iVatt, 0-±Vbtt,t)v(t)b&,
- СО - 00
xe*1 "-*>/,(?; t)dld\,
или, принимая во внимание, что для любого вектора и и любой квадратной
матрицы A uTAu - tr(uuTA),
dfi (г; г)
со оо
f 0Tjj- X
dt (2п,у J J \
- т. - ае
xe".T(E-*)/i (г; *)<МЯ. (55)
> Теперь воспользуемся формулой (ТВ, приложение 1)
00
- 00
Дифференцируя эту формулу по у получаем
со
J "^т<:-*>4Я = |б(?-г) = 6'(?-*),
- 00
со
д дт
* f Ял^Г(ь-)^=||б(С-г) = б"(^-2).
(2я)
- ае
Здесь л и ^-мерные векторы и в соответствии с этим д/д1 = = [д/д? 1 ...
d/d?F]r- вектор градиента в />мерном пространстве, a (d/dt) (dT/dt,) -
квадратная матрица операторов двойного дифференцирования по компонентам
вектора у Иными словами, б'(?-г) представляет собой матрицу-столбец,
элементами которой служат частные производные б-функции по компонентам
векторного аргумента, а 6"(? - г) - квадратную матрицу, элементами
которой служат все вторые производные б-функции по компонентам векторного
аргумента. На основании полученных формул
at ов
~щр j j №а(У /)еаТ(:-г)М?; t)dldk =
- 00 - 00
00
= б '(?-z)Ta(S, 0 MS; = t)h(z- 0],
- 00
со оо
-(2^рт j j МАЬ(У t)v(t)b(y 0T^T"-z>/i(S; t)d?dk =
§ 5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 299
= j бt)v(t)b(t, отМ?; t)dt=
- оо
= 0v(0&(z, 0T/i(z; *)]¦
Пользуясь этими формулами, представим уравнение (48) в виде ¦^L§L-^- = -
0/i(z; 0] +
+ Ttr 0v(/)*(z, 0T/i(z; 0]}- .^ (56)
Таким образом, мы получили параболическое линейное однородное уравнение в
частных производных второго порядка. Это уравнение сначала в различных
частных случаях скалярного Z, а потом и для векторного Z было получено в
начале нашего века физиками Фоккером, Планком, Эйнштейном, Смолуховским и
другими при изучении брауновского движения и диффузии (см., например,
[77]). Поэтому уравнение (56) обычно называется уравнением Фоккера-
Планка. Первый строгий с точки зрения математики вывод уравнения (56) был
дан в конце двадцатых - начале тридцатых годов А. Н. Колмогоровым [38].
Поэтому к именам Фоккера и Планка в названии уравнения (56) иногда
присоединяют имя А. Н. Колмогорова.
Первое приложение для исследования динамических систем уравнение (56)
получило в работе А. А. Андронова, А. А. Витта и Л. ( . Понтрягина, в
которой была поставлена задача изучения флуктуаций фазового портрета (по
терминологии А. А. Андронова) системы с одной степенью свободы и найдено
установившееся распределение изображающей точки на фазовой плоскости для
стационарной системы с одной степенью свободы [2].
Уравнение (56) справедливо и для /г-мерной плотности /" (Zj, . . ., z";
tu • ¦ •, tn), если дифференцирование по t и г понимать как
дифференцирование по tn и г". Чтобы убедиться в этом" достаточно
повторить предыдущие выкладки применительно к уравнению (49) с функцией
%(р; t), определяемой формулой (52).
Пример 11. Пользуясь формулой дифференцирования сложной функции
винеровского процесса (3.61), убеждаемся в том, что уравнение
Z=l-j-2VzV,
где V - нормально распределенный белый шум единичной интенсивности, т. е.
производная стандартного винеровского процесса W (t), имеет решение
t
Z(t) = W*(t), W (t) = J V (T) dr.
о
Поскольку одномерное распределение стандартного винеровского процесса
нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией t, одномерные
характеристическая функция и плотность процесса Z определяются
300 гл- 3- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
формулами *)
gi(V, = fx (z; t) = (2ntz)~4* е-*'* \{г).
Уравнения (38) и (56) имеют в данном случае вид
^S±QjJl = iXg1 (к; t) - 2k*MZeaz
Легко видеть, что найденные функции gx (а; 0 и _/х (г; /) удовлетворяют
этим уравнениям и математическое ожидание MZeiKZ в первом уравнении
существует, так как MZ= М W'2 =DW - t.
Пример 12. Пользуясь формулой дифференцирования сложной функции
винеровского процесса (3.61), убеждаемся в том, что уравнение
Z=Z3 - ZW,
где V - нормально распределенный белый шум единичной интенсивности, имеет
