Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ковариационной функции kXt(x) этого процесса при т = 0, kXt(0) (п.
4.1.2). Но согласно формуле (4.16)
Поэтому для обеспечения стационарности процесса Хх (t) на выходе
формирующего фильтра следует взять случайное начальное значение Xx {t0) =
X10 в момент tn с ковариационной матрицей /гХ1(0), определяемой формулой
(15). Остается найти спектральную плотность sx (со) процесса Xx{t),
определяемого уравнениями (12).
Пользуясь формулой (4.24), находим
где s0 - спектральная плотность белого шума V, равная 1, если sx (со)
представляется формулой (10), или 1/2я, если sx(со) представляется
формулой (14). Для определения передаточной функции ФДв) той части
формирующего фильтра, которая дает на выходе векторный случайный процесс
Хг (/) = [Хи (/)••• Х1п (/)]т, воспользуемся тем, что передаточная
функция всего формирующего фильтра, выходным сигналом которого служит
процесс Х(1) = Хп (/), была найдена раньше. Она определяется формулой
(11), фп (s) = O(s) = H(s)/F(s). Поэтому остальные элементы матрицы-
столбца Фх (s) можно найти из первых п-1 уравнений
CD
(15)
SXl И = ф1 М ф1 (- *(r))Тs0.
(16)
272 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СПС'ЕМ
(12), заменив в них V функцией est, Xv.-функцией Ф[;. (k-l, п), а
оператор d/dt - множителем s (п. 1.3.61. В ре-
зультате получим уравнения
sa\,, (s) = (r)llA+1(s) (k=l, . .., n - m-I), s<Z>lk(s) = <$>ltk+1(s) + qk
(k = n - m, . . ., n- 1).
Решая эти уравнения по очереди и положив в перво;' из них Фц (^) " Ф (s)
" Н (s)jF (s), находим элементы матрицы-столбца ФД5):
Фь/г (s)= (s) = sk~1H (s)/F (s) (fe=l, • n-m),
k- 1 - n-Lm
(r)i*(s)=s*_10(s)- 2 Як
nl -
I-Is -
/=0
k- 1 - ti -t-m
--=sk-1H(s)/F(s)- 2 Як-i-iS1 (k = n - m+l,...,n).
1 = 0
Приводя выражения (k = n - mf-1, .... /г) к общему зна-
менателю и пользуясь формулой (13), после несложных, ко довольно
громоздких выкладок получим
Ф 11(s)^H(s)/F(s), Фlk(s) = Hk(s)/F(s) (к = 2,...,п), (17)
где
Hk{s) = sk~1H (s) (к = 2, n - m),
n- 1
Hk(s) = 2 скг$Г (k - n - 1 > •••,"),
r = 0
A-l
- 2 at-k + r+iQt {r = 0, --------- m-n+k- if
l=k- I - Г k- 1
c*r = - 2 at_k+r+1qt (r - m - n - k, ..., k-
l - ti - m
(только если n-m ^ 2),
/,' - I ~ll - Г
c,;r = 2 Oj-fc + r + lft (r == к- 1 , -
l=k
Для вычисления элементов матрицы /д,(0), определяемой формулой (15),
можно пользоваться формулой (4.28). ^
Пример 2. Найти формирующий фильтр для стационарной случай ной функции X
(/) со спектральной плотностью
, . D а Sx (ш) =-------гг-5-
я а2 -f ш2
В данном случае числитель Р (ш) представляет собой постоянную величину, а
знаменатель имеет два чисто мнимых корня + ?а. Следоцательно, можно
принять
Н (ico) = У Da/я, F (/со) = ico -fa.
§3.1. ПРИВЕДЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
273
Тогда получим
х, (со) == I Ф (ico) I-, Ф (S) У - .
Таким образом, формирующий фильтр в данном случае представляет собой
апериодическое звено с постоянной времени Т =- 1/а и коэффициентом
усиления к-У D/na. Дифференциальное уравнение этого формирующего фильтра
имеет вид
X -: аХ - | ?>а/д V, вности V; 2л.
Н (ico) -- У 2Da, F (ico) - ito a,
будем иметь
}гШа
где I-'- - белый шум интенсивности v- 2л. Положив
s.v (й))ту- I (r) (<ю) I2. Ф (s) -
- Л j - j - о*.
Дифференциальное уравнение формирующего фильтра в этом случае, будет'
иметь вид
,Y--aX ==
где V - белый шум единичной интенсивности.
Взяв в обоих случаях случайное начальное значение Х0 - Х((0) с дисперсией
J. X
Dx ----- \ st (со) du> - \ --t~D,
J л J a--ruj-
- 05 - 05
получим на выходе формирующего фильтра стационарный случайный процесс X
(/) с заданной спектральной плотностью sv (со).
Пр и м е р 3. Найти формирующий фильтр для стационарной случайной функции
со спектральной плотностью
S,".l (f-YPo)^ wS=62_fla.
л й4-;-2 (а2 ¦-о>й) со2 д-со4
В данном случае числитель Р (со) имеет два корня ш= ± ibt, = V Ь- (а -
усо0) (а ¦-у<п0)-1, а знаменатель Q (со)- четыре корня ± ((00 ± ia).
Отобрав >13 этих корней расположенные в верхней полуплоскости, согласно
изложенному методу полагаем
И (гсо) =¦- У 2D (а - усо,,) г (<о - ib{) = | '2D (а - уш0) (гсо-j- &i),
F (ico) - г (оз - со,, - ia) г (со -j - ш" - ia) ----- (ico)2--2a (ico) -
}- ft2.
Тогда будем иметь
" "О, - jL I.. М-F& -
Дифференциальное уравнение этого формирующего фильтра имеет вид X -I-2аХ
+ Ь2Х -, У 2D (a - усо0) (V-'- ЬХУ),
где V-белый шум единичной интенсивности. Этому уравнению соответствует
система двух уравнений первого порядка (12) для векторной
274 гл 5- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
случайной функции Ai.(i)=[A(f) А (0 - ЯлУ (0]Т;
А' и = Ххг-j-qiV,
А12 - - Ьг Ац-2aXi2-irq2V,
где согласно формулам (13) q1 = '\^2D (а - уи>0), q2--=']32D(a- ущ0) (6i
- 2а).
Для определения ковариационной матрицы начального значения А10 = = Ах
(i0) находим по формуле (17) элементы матрицы-столбца Фг(э):
Фц (S) = Ф (s) = ^s + b'\ , ф12 (S) =: 5 -3^ _
's2 + 2as-L-62 ' s2 + 2as + 62'
После этого по формулам (16), (15) и (4.28) находим
- 00
