Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
мерного вектора р понимается как главное значение интеграла в смысле Коши
[41] в случае, когда gt (р; t) не абсолютно интегрируема.
Уравнения (44) и (45) представляют собой систему двух уравнений
относительно g1(X; t) и f1{z\ t). Исключив из этих уравнений /x(z; t)
путем подстановки выражения (45) в (44), получим одно уравнение для ^(Z;
t):
оо оо
d8lft i] = -pfip J j \-iVa (2- 0 + X (b (z, ty a; 0] X - 00 - 00
xei yT-i^T)g1 (p; t)d\idz. (46)
Это линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно gx(Z; /).
Оно было впервые получено в [55].
Совершенно так же, предположив, что существуют все конечномерные
плотности процесса Z{t), приведем уравнение (41) к виду
gn (^T> • • • > ti, . . . , tn) =
00 со
=wytp j • • • j № (2"- O+Z (b (2"- /")T K'f tn)} X - 00 - 00
I n )
x exp Y % (XI - pj) zk jga (Px P"; /Q dpj... dp" dz1... dzn.
(47)
§5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 295
Это линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно gn(Xu ...,
V. tu .... /")*).
5.3.4. Уравнения для конечномерных плотностей. Аналогично, заменив в
уравнении (44) переменную интегрирования г на I, умножив это уравнение на
(2л)~Ре~г'- z и интегрируя по X, получим интегро-дифференциальное
уравнение для одномерной плотности /х (2; t):
00 оо
д-Чг}=Щу I I 0+х(Ь(&,0Тк0]t)dux. - 00 - 00
(48)
Совершенно так же из уравнения (41), в котором математическое ожидание
выражено через "-мерную плотность /п(гх, ..., г"; ^i. • ¦ •. ^п)>
получается интегро-дифференциальное уравнение для "-мерной плотности:
fп (^1> • • • > 2", ^1> • • • > ^п)
оо оо
= Щпр S' • •• i + 0]x
- 00 - ОС
( n 1
xexp i 2 Xl(lk - zk)} /"(?x tn\tu . .., /")x
1 *= i J
xdCi ••• dladK ... dXn. (49) Начальное условие для уравнения (48) имеет
вид
/1(2; /0) = /о(2), (50)
где /0(2) - плотность начального значения Z0 вектора состояния. Начальное
условие для уравнения (49) имеет вид
f п (^l) •••> 2n_x, Zn, /х, •••> ^n- 1" ^n-l)
= /"-i(Zi. •••. 2"_x; /x, ..., /"_x)6(z"-гп_х) (51)
(б-функция в правой части объясняется тем, что при tn = t"_1 величина Z
(tn) с вероятностью 1 совпадает с Z (/п_х)).
5.3.5. Формулы для функции %. Конкретный вид функции Х(р; t) в полученных
уравнениях определяется характером процесса с независимыми приращениями W
(t).
*) Для читателей, знакомых с теорией дифференциальных уравнений в
абстрактных пространствах, заметим, что уравнения (38) и (41) в общем
случае представляют собой обыкновенные линейные однородные
дифференциальные уравнения с неограниченными операторами в банаховых
пространствах непрерывных ограниченных функций переменных X и Xlt ...,Хп
соответственно (17, 47).
296 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Если W (t)- винеровский процесс, то его одномерная характеристическая
функция /ix(u; t) в соответствии с п. 3.4.3 определяется формулой
I 1 Г 1
К (и; t) = exp < - т рт \ V (т) dx р >.
[ о I
Согласно (37) функция yw(p; t) представляет собой логарифми-
ческую производную характеристической функции /ix (р; t) по t,
X(W 0 = -JflnMn; t).
Подставив сюда выражение функции /^(р; t), находим
/(р; ^) = -1рЧ'(0р. (52)
Если W (t) представляет собой общий пуассоновский процесс, то согласно
результату примера 3.3
I С )
Ми: 0 = exp j [g (р)- I] \ v(T)rft)>,
I о )
где g(p)-характеристическая функция скачков, a v(^) - интенсивность
потока скачков процесса W (t). Взяв логарифмическую производную функции
Мр; 0" находим функцию у(р; t) для пуассоновского процесса:
0 = fe(M-) -l]v(0: <53)
В частном случае простого пуассоновского процесса с единичными скачками
?(р) = е1М\
Если процесс W (t) представляет собой линейную комбинацию независимых
винеровского и пуассоновских процессов,
W{t) = wt{t)+ 2 ckpk{t),
k - 1
то функция х(р; t) определяется формулой
N
х(р: 0 = - -71*4(01* + Х.[?а№1)- 1]М0. (54)
k = 1
где v0 (0 - интенсивность винеровского процесса W70(^), gk(k) -
характеристическая функция скачков общего пуассоновского процесса Pk(t),
a vk(t) - интенсивность потока его скачков.
Если процесс W (t) состоит из N независимых блоков, W (0 = - ПМ0Т • ¦ •
^м(0т]> то> разделив р на соответствующие блоки, р = [р! ... p)v]T. будем
иметь
*i(р; 0 = [ftu(Hi; О ••• 0]
S 5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 297
и, следовательно,
N
х(ц; 0=2 0.
к=1
где hlk(nk; 7) и %k(nk; 7)- одномерная характеристическая функция
процесса Wk (t) и соответствующая функция %. Отсюда, разделив матрицу
b(z, 7) в уравнении (32) на соответствующие блоки, b(z, t) = [b1{z, t) .
.. bN (z, 7)], находим
N
X (b (z, ty a; 7) = 2 Xft(Mz- 0тЯ; 0-
k = l
Пуассоновские процессы, особенно простые, играют большую роль в теории
массового обслуживания и связанной с ней теории надежности технических
систем. При приближенном описании процессов обслуживания и восстановления
отказавших элементов с помощью стохастических дифференциальных уравнений
следует пользоваться формулой (53) для функции ^(р; 7) или формулой (54)
при vo = 0. При этом, как правило, будет g(p) = = ?k (Ц) =
