Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
--= ср (t), получим в уравнении (19) в коэффициенте перед белым шумом
множитель ф(?). Однако такой вывод уравнения (19) ошибочен. Это
иллюстрирует тот факт, что обычные правила замены независимой переменной
неприменимы, когда в дифференциальном уравнении присутствует белый шум.
Это необходимо всегда помнить, имея дело со стохастическими
дифференциальными уравнениями.
Ковариационная функция начального значения процесса Xx(s), Х0 = Аф (ф
(/0))i определяется формулами (15) - (17).
Пример 5. Случайная функция X (t) с математическим ожиданием и
ковариационной функцией
ms(t)=eo+c1t, Kx(tlt ti)=DeliUl + '*)
§ 5.1. ПРИВЕДЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ 277
приводится к стационарной преобразованиями
X {t) = ca-\-cxtХх (s)> s=t- (пример 4.10).
Здесь X'-I (s) - стационарная случайная функция с нулевым математическим
ожиданием и ковариационной функцией k (a)-De~a^aK a = sx - s2- Этой
ковариационной функции соответствует спектральная плотность s*. (ш) = =
Da/n (а,2-(-со2) (пример 2). Пользуясь методом п. 5.1.5, находим
дифференциальное уравнение для случайной функции X1(s):
dXi/ds = - aX1 + VrT5aV1,
где V] - белый шум единичной интенсивности. Переходя к переменной t,
заменим это уравнение уравнением (19) для случайной функции Х2 (/) - =
Xx(t2), которое в данном случае имеет вид
Х2 ¦=- 2atX2-i-}^2Da.V,
где V (t) - белый шум интенсивности 21. Начальное условие для
этого уравнения в соответствии с (19) имеет вид Х2(/0) =
Х0, где Х0 - случайная ве-
личина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
Dx=\ sx (м)Ло = - Г =D.
о J v 7 л: J а2-1-со2
- оо - оо
5.1.8. Об уравнениях, получаемых при практическом применении метода
формирующих фильтров. Только что изложенные практические методы
нахождения формирующих фильтров определяют формирующие фильтры с помощью
линейных стохастических дифференциальных уравнений. Поэтому получаемые
путем применения этих методов стохастические дифференциальные уравнения
можно понимать в любом смысле. Определяемый полученными уравнениями
случайный процесс не зависит от того, в каком смысле они понимаются. Тем
не менее в дальнейшем мы будем всегда понимать все стохастические
дифференциальные уравнения как уравнения Ито, так как развиваемые дальше
методы исследования систем, описываемых стохастическими дифференциальными
уравнениями, применимы только к уравнениям Ито.
5.1.,9. Стохастические уравнения системы. В дальнейшем всегда будем
предполагать, что эволюция состояния системы (вектора состояния Z)
описывается стохастическим дифференциальным уравнением, т. е. что
уравнения, описывающие систему, приведены к стохастическому
дифференциальному уравнению. При этом вектор состояния системы будем
понимать как расширенный вектор состояния, включающий все переменные,
входящие в первоначальное дифференциальное уравнение системы, и все
другие случайные функции, которые приходится вводить, чтобы привести
дифференциальные уравнения к системе стохастических дифференциальных
уравнений первого порядка. Тогда стохастическое дифференциальное
уравнение, определяющее вектор состояния системы Z, и формула для
выходного сигнала системы примут вид
Z = a (Z, t) ~ Ь (Z, t)V, Y = g (Z, t). (20)
278 гл. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Так как значение выходного сигнала системы V в каждый момент времени t
зависит только от состояния системы в тот же момент t (т. е. представляет
собой результат безынерционного преобразования вектора состояния Z), то
все вероятностные характеристики выходного сигнала выражаются через
соответствующие характеристики вектора состояния элементарными формулами
теории вероятностей (ТВ, п. 3.3.5 и гл. 5). Поэтому в дальнейшем мы будем
определять только вероятностные характеристики вектора состояния системы.
Белый шум в дифференциальном уравнении (20) будем понимать как белый шум
в строгом смысле (п. 3.4.2).
Начальное значение Z(t0) - Z0 вектора состояния всегда будем считать
независимым от белого шума V (/) при t > t0 (точнее, от приращений W (s)-
W (t) процесса с независимыми приращениями, производной которого служит
белый шум V при s>i7gO0).
В случае стохастической системы, для которой вектор состояния
определяется уравнениями вида (1.67а) при сведении дифференциального
уравнения системы (1.67а) к стохастическому дифференциальному уравнению
целесообразно свести разностное уравнение системы (1.67а) к
стохастическому разностному уравнению с независимыми случайными
величинами. С этой целью предположим, что случайные величины в (1.67а)
определяются формулой Nk = ipfe (Uk) и разностным уравнением
Uk+i ~ (^*> ^а)>
где сол - некоторые функции указанных аргументов, a {Vk}-
последовательность независимых случайных величин. Тогда, расширяя вектор
Z"k путем объединения его с вектором U я, получим для расширенного
вектора состояния Z = [Z'kTZ'?]y систему уравнений
Z' = a (Z, t) + b(Z, t)V, Z;+1 = cok (Zk, Vk),
где
Zft = [Z^]T = 2(/'*>),
z" (t) = irk\Ak(t).
