Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Подставив это выражение в (34), найдем
gy (Я; t -j- At) - gy (Я; t) = М [eik\a(z,t)\t + b{z, од"п_ 1} eaTz =
= Л4 {еГ'Т laTzlVbt^biZ, t)\W] giXTb(Z, ОД^7 -L ei>.rb(Z, t)AW 1 j
giVztO^
или, с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно At,
g! (Я; t + АО - g1 (Я; t) = /И {e^(z, о aw (enZ0(z, о Д( _ l) +
eaTfc(z, t)A\v__ i j eaTz = ypf {eaTi-(z,()AF ц-та (Z, t) At +
^eaT6(z,oAr_i}eaTz. (35)
Здесь читатель может поставить вопрос: почему, приняв ei>?a(z,t)\t-¦
\wiX'Ta(Z, t)At, мы не сделали то же самое в отношении величины
eikTb(Z,t)&W 1?
Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что AW является бесконечно малой
порядка V At (п. 3.5.1). Поэтому, ограничиваясь линейным членом
разложения этой величины в ряд Маклорена, можно потерять бесконечно малые
порядка At (так же как при дифференцировании сложной функции в § 3.5).
Применим теперь вычисления математического ожидания в (35) формулу
полного математического ожидания (ТВ, п. 4.3.3), взяв сначала условное
математическое ожидание при фиксированном значении г случайной величины
Z, а потом взяв математическое ожидание с учетом случайности Z. Так как в
уравнении Ито (32) случайные величины^ =Z (t) и AW = W (^-)-А^)-W(t)
независимы, то условное математическое ожидание любой функции величины AW
при данном z не зависит от Z и равно безусловному математическому
ожиданию этой функции. Следовательно,
MeaTb(z, одv дта (Z) ^ eo7z =ММ \е^ъ^ t)&w i)ja (Z, t) | Z] =
= М {гЯта (Z, t) ea^M [e^btz,0Д vr \Z]} =
= M [iZTa(Z, t)^ZzM^b^' oavt]
и, аналогично,
JlJeikTb(Z,t)AW + iATZ _ [e">-TZy\/fei'/Zb (Z.t)AW^
Ho MeinTAW представляет собой характеристическую функцию приращения AW
процесса W (t), которую мы обозначим h (,u; t, t + At):
Me^AW = h(ii; t, t-\-At).
'2bC ГЛ. 5- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Поэтому
_yjei/.r/'(2. /)л"" _h(b(Z, t)1 ф i У-At) ti предыдущие формулы принимают
вид д./0Дтб(г,<)ЛГ цта (2, t) er'-tz = Mi)Ja (Z, t) h (b (Z, t)c а; ф /ф-
A/) Me"-THz.t)b\r + i>.Tz = (2, /)ГЯ; ф t~ At) ev'^z.
Подставив эти выражения в (34), получим
ф, (Я; /ф-Аг1)- МЯ; /) = /VI (i7.tq (Z, t)h(b(Z, /)тл; ф t At) At-
- /i (b (Z, 1, i --- At)- 1} e0^7-. (36)
Воспользуемся теперь формулой (3.33), выражающей характеристическую
функцию приращения процесса с независимыми приращениями через его
одномерную характеристическую функцию. Тогда, обозначив через Л,(u; t)
одномерную характеристическую функцию процесса W (t), будем иметь
h (ц; ф / 4- At)- 1 Ih j?)?±Af>- 1 ^ lh / (* П ¦ ¦
Vj ' ' ' ' hi (u; t) lu (fi; t)
Предполагая, что hi (p; t) имеет непрерывную производную по ф по формуле
конечных приращений Лагранжа находим
Мм; t-^At) - hi([i\ t) = дк[ (?- At,
где х ? (ф t-f А/). Следовательно,
h (и; ф / -- А/)- 1 - --М_ ЗМфЦ) д,
' Hi фи; I) dt '
плп, с точностью до бесконечно малых высших порядков относительно Аф
h (и; ф t - А/)- 1 ^ -1 d/h-^'О At.
ь 7 /г, (и; /) dt
Положив
о,- а- 1 дМ.нН) /от,
найдем
h([i; ф \/1 - 1 =х(м; О А/.
Подставив отсюда выражение h (и; ф t ф- Аф в (36), получим с точностью до
бесконечно малых высших порядков относительно At
gi (Я; t -У At)-gi (Я; /) = VI {t/.Ta(Z, /) - %(b{Z, фтЯ; /)} e°'zAt.
Наконец, разделив обе части этой формулы на А/ и перейдя к пределу при At
-"¦ 0, получим уравнение, определяющее одномерную характеристическую
функцию ^(Я; /) вектора состояния
§5.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 289
системы Z = Z(t):
= М [Ша(Z, t) + %(b(Z, ф.; t)\ <" (38)
Разъясним теперь, почему эта формула представляет собой уравнение
относительно gy (Я; t). Математическое ожидание в правой части
определяется одномерным распределением процесса Z(z), которое в свою
очередь полностью определяется его одномерной характеристической функцией
gy (Я; t). Следовательно, правая часть формулы (38) при данном t
представляет собой функционал от характеристической функции gy (Я; t).
Поэтому (38) представляет собой уравнение относительно gy (Я; t).
Пусть Z0 = Z(t0) - начальное значение вектора состояния системы в момент
ig, представляющее собой случайную величину, независимую от значений
белого шума V (t) при t^-t0 (от будущих приращений HZ (s) - W (t)
процесса W (t), s>t^t0)*). Обозначим через g0(X) характеристическую
функцию величины Z0. Тогда начальное условие для уравнения (38) будет
иметь вид
gi(M t0) = g0 №)• (39)
Уравнение (38) и начальное условие (39) полностью и однозначно определяют
одномерную характеристическую функцию gy (Я; t) вектора состояния системы
в любой момент времени t ^ t0.
Само собой разумеется, уравнение (38) справедливо только в том случае,
когда математическое ожидание в правой части существует. В этом случае,
как это следует из нашего вывода уравнения (38), gi (Я; t)
дифференцируема по / и удовлетворяет уравнению (38).
Подчеркнем, что уравнение (38) справедливо только при условии, что
уравнение (31) является уравнением Ито. Только при этом условии текущее
значение вектора состояния системы Z(t) независимо от приращения AW^W(t-
