Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
нахождения подходящих стохастического дифференциального уравнения (9) и
функции и)(", /) по найденным экспериментально характеристикам случайной
функции X (/) пока еще не разработаны. И лишь для стационарных и
приводимых к стационарным случайных функций существуют достаточно хорошо
разработанные методы нахождения формирующих фильтров.
5.1.5. Формирующий фильтр для стационарного случайного процесса.
Покажем, как можно найти формирующий фильтр для скалярной стационарной
случайной функции X {!) с рациональной спектральной плотностью.
> Предположим, что спектральная плотность действительной; скалярной
стационарной случайной функции X (t) с нулевым математическим ожиданием
определяется формулой
sx (со) = Я (cd)/Q (со),
где Я (со) и Q (ш) - полиномы. Так как s .(w) - четная функция,, то i3
(со) и Q(co) содержат только четные степени со. При этом в задачах
практики степень 2т числителя Р (со) всегда меньше степени 2л знаменателя
Q (со), так как только в этом случае дисперсия случайной функции X(t),
равная интегралу от спектральной плотности, будет конечной. Кроме того,
для сходимости интеграла от спектральной плотности необходимо, чтобы
знаменатель Q (со) в выражении спектральной плотности не обращался в нуль
ни при каком действительном значении со. Наконец, вследствие того, что
спектральная плотность существенно положительна при всех (действительных)
значениях частоты со, все коэффициенты полиномов Р (со) и Q (со)
действительны. Из этих свойств полиномов Я (со) и Q (со) следует, что
корни каждого из них являются попарно сопряженными комплексными числами и
каждому корню соответствует корень того же полинома противоположного
знака. Иными словами, корни полиномов Я (со) и Q (со) расположены на
плоскости комплексной переменной со симметрично относительно
действительной н мнимой осей.
Разложим полиномы Я (со) и Q(co) на множители и отберем в полученных
разложениях множители, соответствующие корням, расположенным в верхней
полуплоскости комплексной переменной со. Если Я (со) имеет действительные
корни, то все эти корни являются кратными корнями четной кратности, так
как кривая, изображающая спектральную плотность, в этом случае касается
оси абсцисс, будучи расположенной целиком выше нее. Половину множителей,
соответствующих каждому такому корню, следует отнести к верхней
полуплоскости, а другую половину - к нижней. Добавив ко всем множителям в
разложении полино-
268 ГЛ. 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
ма /-* (to), отнесенным к верхней полуплоскости, арифметический
квадратный корень из коэффициента р.ш при со2т в этом полиноме и
множитель im, получим полином степени т относительно оо, все корни
которого расположены в верхней полуплоскости и на действительной оси.
Обозначим этот полином Я (ico). Легко видеть, что все коэффициенты
полинома Я (ico), рассматриваемого как полином относительно ico,
положительны. Действительно, возьмем какой-нибудь один корень полинома Я
(ico). Пусть этот корень будет а + г'Р, Р^О. Если а 4^=0, то по
доказанному выше свойству полиномов Р (со) и Q (со) полином Я (гсо) имеет
также корень -а-ф. Следовательно, полином Я (гсо) представляет собой
произведение положительного числа Vр2т на множители вида г (со - а- г'Р)
г (со + а-ф) и г (со - г'Р), где Р>0. Но
! (со - а- г'Р) i (со -j- a - г'Р) = (гсо)2 4- 2(3 (гсо) -j- а- -р Р2, г
(со - ф) = гсо + р,
вследствие чего произведение любого числа таких множителей представляет
собой полином относительно г со с положительными коэффициентами.
Оставшиеся т множителей в разложении полинома Р(со), соответствующие
корням, расположенным в нижней полуплоскости, умноженные на Vр2т и на (-
i)'n, образуют полином, который получается из Я (гсо) изменением знака у
гсо, т. е. Я(-гсо). Действительно, каждому корню а+г'Р полинома Р(со),
расположенному в верхней полуплоскости, соответствует корень а - ф,
расположенный в нижней полуплоскости. Поэтому каждому множителю вида
i (со - а - г'Р) г (со -- а - г'Р) = (гсо)2 + 2р (гсо) + а- Р2
или
г (со - г'Р) = гсо + р
полинома Я (гсо) соответствует оставшийся множитель вида - г (to -а +
г'Р) (- г) (со -р а г'Р) = (- гсо)2 + 2Р2 (- гсо) + a2 -j~ Р2
или, соответственно,
- г (со-Е г'Р) = - г'со + Р,
что и доказывает наше утверждение.
Таким образом, отобрав в разложении полинома Р (со) множители,
соответствующие корням, расположенным в верхней полуплоскости, и добавив
множитель imVргт, представим полином Р (от) в виде
Р (со) = Я (ico) Я (- ico) = | Я (гсо) |2,
* 3.1. ПРИЗ!: ДЕНИ К К СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
269
где Н (к*)) - полином относительно гм с положительными коэффициентами.
Совершенно так же, отобрав в разложении полинома Q (ш) множители,
соответствующие корням, расположенным в верхней полуплоскости, добавив к
ним множитель inVq2n, где q2n- коэффициент при старшей степени со, т. е.
при со2п в полиноме Q(to), и обозначив образованный этими множителями
полином через F (т), представим Q(m) в виде
