Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
уравнению Стратоновича. Устремив к нулю сначала интервал корреляции', а
потом постоянную времени Т, придем к тому же уравнению, которое на этот
раз будет уравнением Ито.
Тот же результат получится в случае, когда b(Z. ; I зависит не от
текущего состояния системы, а от прошлого состояния, получаемого с чистым
запаздыванием Т. В этом случае уравнение (3) заменяет-.?, уравнением
Zi=a (Zt, t)-\- b (Zt_T. t - T) X
Так как при любом \: ¦ Г случайные величины 6(ZT_r, т - Т), tk 1
и W (tk) - j) независимы, то в пределе при At -- - 0 уравнение (7)
будет уравнением Ито. И это будет не только, когда сначала At->¦ О, а
потом Т--> 0, но н при одновременном стремлении At и Т к нулю, если lim
Т/At ~х уа 1. При х < 1 в этом случае получится уравнение с 0-диффе-
ренциалом при 0---(1-х)2/2. Таким образом, вопрос с том, как следует
понимать стохастическое дифференциальное уравнение 1,7) при замене
случайной функции X&(t) в (3) белым шумом, следует решать, учитывая
соотношение между временем запаздывания и временем корреляции случайной
функции Хд(7). Если время корреляции не яревосходит времени запаздывания,
то уравнение (7) следует считать уравнением Ито. Если время запаздывания
в 1/х раз меныпс времени корреляции, то (7) следует считать уравнением с
О-дифференциалом при 0- (1-х.)-/2. Если, в частности, время запаздывания
очень мало по сравнению с интервалом корреляции, то (7) следует считать
уравнением Стратоновича.
Приведенный пример показывает, что вопрос о том, в каком смысле следует
понимать стохастическое дифференциальное уравнение (7), полученное
заменой в (3) случайной функции Х\(!) белым шумом, в задачах практики
можно решать только одновременно с построением математической модели
системы с учетом всех принимаемых допущений. А так как при построении
модели системы часто бывает невозможно даже просто перечислить все
неучитываемые запаздывания, не говоря уже об оценке их величин, то легко
прийти к выводу, что простая замена случайной функции в дифференциальном
уравнении белым шумом не может быть рекомендована. Поэтому для приведения
дифференциальных уравнений системы к стохастическим дифференциальным
уравнениям следует применять другой способ, о котором мы сейчас
расскажем.
5.1.4. Метод формирующих фильтров. Другой метод приведения
Дифференциальных уравнений, описывающих состояние системы, к
стохастическим дифференциальным уравнениям состоит в замене случайной
функции (в общем случае векторной), входящей в диф>-
266 гл- 5- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
ференциальное уравнение, некоторой другой случайной функцией, которую
можно представить как результат безынерционного преобразования решения
стохастического дифференциального уравнения. Этот метод применим и в тех
случаях, когда случайная функция входит в дифференциальное уравнение
системы нелинейно. Поэтому рассмотрим дифференциальное уравнение,
описывающее эволюцию состояния системы, в общей форме
Z = t), Z (t0) = Z0, (8)
где (i) - случайная функция. Если случайную функцию X (t)
можно представить в виде X (?) = со (U (t), t), где сo(u,t) - некоторая
функция вектора и и времени t, a U (t) - случайный процесс, определяемый
стохастическим дифференциальным уравнением
U = q>(U,t) + q(U,t)V (9)
при начальном условии U(t0) = U0, то составной векторный случайный
процесс Zi (t) = [Z (ty U (7)T]T будет решением системы стохастических
дифференциальных уравнений
Z = /(Z, о)(U, t), t), U = (f{U, t) + ty(U, t)V
при начальном условии Z(/0) = Z0, ?/(/") = ?/". Эту систему уравнений
можно записать в виде одного уравнения
Z1 = a (Zlt t)-\-b(Zlt t) V,
где
"№. о-"(Z"о-[¦<;•"].
Это стохастическое дифференциальное уравнение всегда понимается в том же
смысле, что и уравнение (9), определяющее процесс U (t). В частности,
если уравнение (9) представляет собой уравнение Ито, то и уравнение для
составного процесса Zx (t) = [Z (/)т U (0Т]Т будет уравнением Ито.
Уравнения X (/) = со (U (/), t) и (9) можно рассматривать как модель
некоторой системы, формирующей случайную функцию X(t) из белого шума V,
т. е. как систему, дающую на выходе случайную функцию X(t), получая на
входе белый шум V. Такая система называется формирующим фильтром для
случайной функции X (/) (п. 3.2.3). Вследствие этого изложенный метод
приведения уравнения системы к стохастическому дифференциальному
уравнению называется методом формирующих фильтров.
Так как характеристики случайных функций, входящих в дифференциальные
уравнения различных систем, всегда получаются из опыта путем
статистического оценивания, то в принципе любая такая случайная функция с
достаточной точностью может рассматриваться как результат некоторого
линейного
§6.1. ПРИВЕДЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ 267
преобразования решения стохастического дифференциального уравнения, в
частном случае как вектор, образованный частью компонент решения
стохастического дифференциального уравнения. Однако в общем случае методы
