Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
+ bu(utk_i> tk-i)a(Utk_1> Ь-г)]{^ - Ь-г)~
~lrbu{^tk_ i> h-i)b (U tk_x> h-i)\W (h)' ^(^-i)](T h-i)/&t-
Подставив это выражение в (4) и выполнив интегрирование, получим
U(h)-U(h-1) =
= a(Utk_1, h-i)bt^b(Ulk_lt tk-1)[W(tk)-W(tk_1)] +
+ h-i) + bu{Utk_v h-i) a (Utk_1> h-i)]x
l:-z
x[W(h) - w(h-i)]jt \ (x - h-i)dr-r
гк-г
-\-bu(Utk_ i, b (Utk_xi h-i)\W {tk) ^(^-i)]2x
!k
XW- \ (T-h)d*=za(Utk_1,tk-1)At +
'k-i
tk_,)[W {tk)-W + h-i)a(Uh_lt 4_1)][^(4)-
tk^)b(Ufk_lt h-i)[W(tk)-W(tk_,)]*.
Дальше, так же как при выводе формулы Ито для дифференциала сложной
функции в п. 3.5.2, приходим к выводу, что нужно учесть только
математическое ожидание последнего слагаемого. Принимая во внимание, что
*k
{tk) - W (tk_ j)]2= 5 v(x)?fT"v t/s-i
5 5.1. ПРИВЕДЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ 263
и отбрасывая слагаемые высшего порядка малости с [W (tk) -¦ - W (^fc_i)]
At, получим окончательно
U Ук) U (h-i) = [а 4-i) +
+ ^-1 ^A-l) V (ГА- l)] ^ +
+ М^Ч-1' *A-l)[^ (^ft) - ^ (^-l)]*
Суммируя ПО k ОТ 1 ДО N, ПОЛОЖИВ t = ts и ВСПОМНИВ, ЧТО ^" = 0, найдем
U(t) = U(tN):
1/(0 = г/(0)+2 U{utk_v **_,) +
k-i
2
A
+ 2*(*V1,
k=i
Отсюда на основании определения с. к. интеграла (п. 2.4.5) и интеграла
Ито (п. 3.4.6), положив Z (t) = l.i.ra. U (t), получаем при 0
Z (0 = Z (0) + j [a (Ztf т) + ±Ьг (Ztf т)
х
г
X b (ZT, т) v (т) dx-т \Ь (ZT, т) dW (т), (5)
с
где второй интеграл представляет собой интеграл Ито.
Итак, при случайный процесс U(t), определяемый
дифференциальным уравнением (3), имеет с. к. пределом случайный процесс Z
(/), определяемый стохастическим интегральным уравнением Ито (5), или,
что то же, стохастическим дифференциальным уравнением Ито:
Z = a'(Z, t) + ±bz (Z, t) b (Z, 0 v(t) + b(Z, t) V. <4 (6)
Этому уравнению Ито согласно формулам (3.84) и (3.85) соответствует
уравнение Стратоновнча
Z = a(Z,t) + b(Z,t)V.\ (7)
Таким образом, мы доказали справедливость утверждения, к которому пришли
эвристическим путем в п. 5.1.1.
Заметим, что как соображения п. 5.1.1, так и приведенное доказательство
относятся только к случаю, когда функция b(z, t) зависит от 2. Если b(z,
t) не зависит от г, то, как было пока-
264 гл. 5. ТЕОРИЯ ОХ ЛОГИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
зано в п. 3.6.5, вопрос о том, в каком смысле следует понимать уравнение
(7), не возникает. Все виды стохастических дифференциальных уравнений в
этом случае совпадают и определяют один и тот же случайный процесс. В
частности, все виды линейных стохастических дифференциальных уравнений
совпадают и определяют один и тот же процесс.
Приведенные выводы легко распространяются на случай векторного уравнения
(1).
5.1.3. О практической возможности замены случайной функции в
дифференциальном уравнении белым шумом. Приведенный вывод, как уже было
сказано в конце п. 5.1.1, чисто формален и получен без учета всех
допущений, принятых при построении математической модели системы в виде
дифференциального уравнения (1). А к построению математической модели
любой системы всегда следует подходить комплексно, с одновременным учетом
всех принимаемых допущений. При таком системном подходе приведенный вывод
часто оказывается неверным. При замене случайной функции (/) в (3) белым
шумом во многих задачах практики полученное уравнение необходимо понимать
не как уравнение Стратоновнча, а как уравнение Ито, а иногда и как
уравнение с 9-дифференциалом при каком-нибудь другом значении 0 [54].
Пример 1. Если коэффициент b (Z, I) при случайной функции X±(t) в (3)
формируется не безынерционно, а с помощью, например, апериодического
звена с малой постоянной времени Т, то модель (3) получается путем
пренебрежения постоянной времени Т из более точной модели, описываемой
системой двух уравнений
Z = a (Z, l)4rZxX\, TZi = b(Z, /)-Zx.
Повторив для этой системы уравнений предыдущие выкладки, получим вместо
слагаемого
'к
i b (2Т , т) dx [W (tk) - W (tk_x))!M
" к - г
в (4) слагаемое
jj Zx (т) dT IW {tki - ft" </*_!)].м =Zi (;*_,) [W (Ik)-w (/*_!)]-f.
1
¦'~T ) P(ZC-1' Zi(<A_i)](T-/A_i)dTX
C-i
X iw {tk) - W (tk.1mt=z1 IW (tk)-W (tk-i)] +
[b (Ztk_v : 5 Z\ (<*_!)] [ W (tk) - W (/*_!)] Af =
= zi (tk-1) [W{tk)-w {tk^)\ +o (AO.
В результате вместо (6) получим уравнения Ито
Z - a(Z, t)A-ZxV, TZi = b(Z, t) - Zl.
§5.1. ПРИВЕДЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ 265
Если теперь пренебречь постоянной времени Т, то получится уравнение Ито
Z - a (Z, t)-{-b(Z, I) V.
Это уравнение совпадает с (7). Однако оно является на этот раз уравнением
Ито, а не уравнением Стратоновича.
Таким образом, если сначала пренебречь постоянной времени Т, а потом
заменить в полученном уравнении (3) случайную функцию Хд (1) белым шумом,
то уравнение (7) следует понимать как уравнение Стратоновича. Если же
сначала заменить случайную функцию Хд (t) белым шумом, а после этого
пренебречь постоянной времени Т, то \ равнение (7) следует понимать как
уравнение Ито. Иными словами, устремив к нулю сначала постоянную времени
Т, а потом интервал корреляции случайной функции Хд (/), придем к
