Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
стохастическое дифференциальное уравнение, полученное путем формальной
замены случайной функции X (t) белым шумом? Ясно, что это уравнение в
общем случае нельзя считать уравнением Ито. Чюбы понять это, заметим, что
на основании определений интеграла Ито и Уравнения Ито значение
коэффициента при белом шуме в уравнении Ито в данный момент времени t не
зависит от значения белого шума в тот же момент (точнее, случайные
величины
260 гл. Г>. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТРА'.
b(Z(t), t) и dW (t) при данном t независимы). Следовательно, Л4 (Z (0, 0
V (/) = Ж (Z (/), 7) .МУ (/) = 0.
В то же время, если случайная функция X (t) в (1) не является белым
шумом, то в общем случае Mb (Z {t), t) X (t) ф 0. Значит, приняв
полученное уравнение за уравнение Иго, мы неизбежно вводим во все расчеты
ошибку. Из интуитивных соображений можно прийти к выводу, что
стохастическое дифференциальное уравнение, полученное заменой случайной
функции X (;) в (1) белым шумом, следует понимать как уравнение
Стратоновнча (т. е. уравнение с 1/'2-дифференциалом согласно определению
в п. 3.6.4). Приведем эти соображения. При данном t все значения X (т)
случайного процесса X(t), соответствующие т 6 4 участвуют в формировании
состояния системы Z(t) в момент t, а все значения X (т), соответствующие
т > 4 не могут участвовать в формировании значения Z (/) в момент f (как
бы "половина" корреляции случайной функции Х(1) с ее значениями при
других t относится к прошлому и, следовательно, приводит к зависимости Z
(/) от X ((), а другая "половина" относится к будущему). Отсюда можно
сделать вывод, что при замене X (4 белым шумом V (I) одна "половина"
белого шума, которую можно обозначить V(t - 0)/2, должна участвовать в
формировании Z(/), а другая "половина" 1/(/'-ф0)/2 не должна участвовать
е формировании Z(i). Иными словами, X (/) должна быть заменена в (1)
величиной |У(/ - 0) -j- V (t + 0)]/2. А это соответствует уравнению
Стратоновнча. При этом
Mb(Z(l), t)V(t) = ±Mb(Z(t), /) Г! 0),
и той ошибки, которая возникает, если считать полученное стохастическое
уравнение уравнением Ито, не будет. Однако это чисто математическое
рассуждение не увязано с тем факг . м, что любое уравнение служит только
моделью системы, а не описывает реальный процесс. Если учесть другие
допущения, принятые при построении модели, то этот вывод может оказаться
неверным. В этом мы убедимся в п. 5.1.3.
5.1.2. Уравнение Ито, соответствующее данному уравнению. Попытаемся
вывести уравнение Ито, которым следует заменить уравнение (1) при замене
случайной функции Х(/) белым ' тмом. При этом ограничимся случаем
скалярного уравнения (Г) к скалярной случайной функции. X (/).
> Пусть W (I)- скалярный винеровский процесс инл енсив-ностн v(t).
Разобьем интервал (0, оо) точками + = 0, 4 < л на равные отрезки длины A
t--=tk- 4-i (*=1, 2, . . .). Образуем ступенчатый случайный процесс
X^(t) = [W (t") - W (4-i)]/^ при 4(4-i, 4]- I2)
5 5.1. ПРИВЕДЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ 261
С. к. интеграл от этого процесса по интервалу (0, /] определяется
очевидной формулой:
I
Гд (/) = 5 Хд (т)d% = W (/*_,) + [W (/.,)- W (/,_,)] (/-- : Л/
при l€(tk-1, Д] (6=1, 2, . .
Ясно, что W* (tk) - W (tk) при всех tn (6=1, 2, ...) и, следовательно,
приращения процесса U3A(() на интервалах Л]
(6=1, 2, ...) независимы. Однако приращения W& (t) на любых интервалах,
пересекающихся с одним и тем же интервалом Д], зависимы.
Математическое ожидание случайного процесса Хд(Л, очевидно, равно нулю, а
его ковариационная функция определяется формулой
Хд (/, П = DXд (t) = ХЩ (/) - ХГ [Г (tk) - W (/ft_x)] W =
tk
= д75 V(T)^T ~ v(/A-;),Ar при /, t' € (;*_!, /Л Л-i
и равна нулю, если точки t и /' принадлежат разным интервалам, t?(tk_T,
tk], t'?(tг_1, /г], }гф1. Таким образом,
( v (/ft_x)/A/ при /, /Л.
Ад (¦', Г ) -: I л
I 0 в других случаях.
При этом
ОС
) Мд(/, t')di' = v (/,,_!) при /Л,
- оо
и интервал корреляции случайного процесса .\л (/) равен
1 Г Л'д (Т /') 1 . , , о о
трутах \ =ТА/ (п. 2.2.5).
- (r)
Ясно, что при At - - 0 Гд (/) - - (/), а Хд (г) стремится к белому
шуму интенсивности v(t).
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) с Х(?) = Хд(т):
U = a(U, t) + b(U, /) ХЛ in. (3)
Найдем с.к. предел определяемого этим уравнением процесса U (?) при At ->
0. Для этого найдем приращение процесса, определяемого уравнением (3), на
интервале {tk_u д]:
V(tk)-U(tk.l) =
= \ a(Ux,%)d% + \ b(Ux, x)dx[W (tk) - W (tk^1)]iAt. (4)
* h i t h л
262 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Чтобы выделить из второго интеграла элемент интегральной суммы Ито,
представим b(Ux, т) в окрестности tk_1 формулой Тейлора, удержав в ней
только малые первого порядка. Тогда будем иметь
b{Ux, *) = b(Utk_l, + - h-i) +
Но на основании (3)
U {x) - U {tk_1) = a(Utk_1, tk_-l)(x-tk_l) + + b(u'k-1' h-г) lw (h)~w (h-
i)](t - h-i)'to
с точностью до малых высших порядков. Следовательно,
b(Ux, т) = b(Utk_l, tk_l) + [bt(Utk_lt tk-!) +
