Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
4.9 Для системы с двумя степенями свободы задачи 1.10 при векторе
обобщенных сил, взятом в виде стационарного процесса со спектральной
плотностью sq (со), показать, что элементы матриц s? (со) и Sq9 (со)
опреде-
Ф (м) =
2Da
(2лр
ЗАДАЧИ
257
ляются Формулами
Н/ДУ М-'и (") Ф*1 (ч°) Ф/1 (1М)з 522 (ш) ФЛ2 (М Ф/2
- Si-2 (со) [Фй1 (ico) Фг2 + Фдг (ico) Фц (Ml Ml, 2). 'Qulh М =Su М Ф/ll
(М + Н2 М ФЛ2 (М.
5<?>?Д (") = S12 (°у> фЛ1 (М 3- "22 (со-! ФЛ2 (iw) (Л =- 1, 2).
4.10. Яайти спектральную плотность sz (со) и ковариационную матрицу АП
векторного стационарного процесса Z (/) в стационарной системе
Г*1' Г 0 1 0 0 Г^1 г°
j Z2 ! - 0)6 -2е 1 0 Z-2 | 0
zs 0 0 0 1 \ гя | 91
, ^4 . 0 0 - coi -2ег __ [zt_ .92
где V - белый шум единичной интенсивности, ql, q2, соп, од, е, ег (е, ех
> 0) - некоторые достоянные коэффициенты.
4.11. Найти спектральную плотность sz (со) и дисперсию Dz вертикальных
колебаний кузова автомобиля в линейном приближении з задаче 1.14 при
известной спектральной плотности микропрофиля дороги s, (оз) - s (р)/п, р
- 2л/а [3261.
4.12. Найти спектральную плотность sx (со) и дисперсию Dx стационарных
случайных колебаний объекта с динамическим гасителем колебаний в задаче j
15 под действием возмущающей силы со спектральной плотностью Sj,( со).
4.13. Для стационарной линейной системы задачи 1.9 с тремя степенями
свободы при Л = /, С = соо/, В = 2б/, В* -С' = 0, Sq (со) = (2я)3 si (I -
единичная ЗхЗ-матрица) вывести формулы для спектральной плотности sz (со)
стационарного процесса
Z(0 = [<h (0 92 (0 9з (0 9i (0 92 (0 9з (0]т-
Найти та- ке ковариационную матрицу Kz-
4.14. Вывести формулы для спектральных и взаимных спектральных плотностей
(со) и sv.(co) в системе задачи 1.11 при В--2&А и В = Т)С, считая
известной спектральную плотность sx (со) входного сигнала.
4.15. Показать, что для линейной стационарной системы с передаточной
фулудцен
Ф м =- disJrdn
c3s3 - с2 s2 + Ci s -У с,,
в случае входного сигнала в виде белого шума с интенсивностью v дисперсия
выходного сигнала равна
j-j с?цсД - с2[1ъ
2с0 (С]С2 -с0с3)
Вычислить также ковариацию kxy.
4.15. Показать, что ковариационная функция ky (т) и спектральная
плотность >j (со) случайной функции
Y(l) = X1 (/) АГ2 (0,
где Xxd) и Х2(г)-компоненты двухсерного действительного нормально
распределенного случайного процесса с известной ковариационной
258
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
функцией и спектральной плотностью, вычисляются по формулам
*y(x) = *i (т)*2 СО+ *12 (т) *21 CO-fm! *2 (т) + т! *1 (т).
СО
00
(со)= ^ S! (ш - ?) s2 (I) dt-f ^ s12 (w- ?) s-n (0 dt,~-mis2 (co)-1-ml
(to).
- 00
- CO
Дать обобщение на случай Y (() = Xl (t) Хг (t), где Хг (t) и Л'2 (/) - я-
,мерные векторы.
4.17. Найти ковариационную функцию и спектральную плотность процесса Y
(t) в задаче 2.17 для случая нормально распределенного стационарного
случайного процесса X (t) с известной ковариационной функцией и
спектральной плотностью.
4.18. Вывести формулы Райса [112, 114] для математического ожидания числа
пересечений постоянного уровня а и числа стационарных точек за время Т
для случайного стационарного нормально распределенного процесса X (t) с
математическим ожиданием тх и ковариационной функцией
** (х):
"¦¦41
/4
*4 (0) 4(0)
Указание. Воспользоваться формулами задач 2.20 и 2.21.
ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ к
§5.1. Приведение уравнений системы к стохастическим уравнениям
5.1.1. О принципиальной возможности замены случайной функции в
дифференциальном уравнении белым шумом. Из сказанного в пп. 1.4.1 и 2.2.5
и из дальнейших рассуждений о белом шуме ясно, что белый шум не может
входить ни в какое уравнение, полученное из практической задачи. Все
случайные функции в уравнениях, описывающих реальные явления, отличаются
от белого шума. Тем не менее весьма заманчиво попытаться применить хорошо
развитые методы исследования случайных процессов, определяемых
стохастическими дифференциальными уравнениями, для изучения различных
технических и физических систем. Иными словами, целесообразно
пользоваться стохастическими дифференциальными уравнениями для построения
подходящих математических моделей реальных систем.
Ясно, что о непосредственной замене случайной функции в дифференциальном
уравнении белым шумом можно говорить только в том случае, когда эта
случайная функция входит в уравнение линейно. Поэтому рассмотрим сначала
систему, состояние которой, характеризуемое вектором Z, описывается
уравнением
2 = a{Z,t) + b{Z,t)X, (1)
где a(z, г) и b(z, t)-'Известные функции вектора z и времени t. Функция a
(z, t) представляет собой вектор той же размерности р, что и вектор
состояния системы Z, a b (Z, t) является pxq-матрицей, где q -
размерность векторной случайной функции X (/). Если интервал корреляции
случайной функции Х(/) достаточно мал, то ее можно считать практически
белым шумом (п. 2.2.5). Возникает вопрос: в каком смысле следует понимать
