Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(новый параметр) = (1 //г) х (старый параметр)
превращает р в вектор, касательный к лучу.
Каждый фотон обладает вектором поляризации f, который ортогонален 4-импульсу (р • f = 0) и переносится параллельно вдоль своей геодезической мировой ЛИНИИ (Vpf = 0).
Множество фотонов с приблизительно одинаковыми 4-импульсами р и векторами поляризации f (они сравниваются путем параллельного переноса) образуют классическую электромагнитную волну. Скалярную амплитуду волны а можно определить, приравнивая тензор энергии-импульса волны
T==itraZk®k=ir( т)2р®р
тензору энергии-импульса множества фотонов с вектором потока фотонов S
T = р (8 S
[см. уравнение (5.18)]. В результате находим
s^-Sr(T)2P=Wfl2k или в любой локально лоренцевой системе отсчета
а = (8яйW)*= (8л)1'* Л („юность числа фотонов
\ энергия одного фотона /
§ 22.6. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 1J
Звезды в галактике блуждают в пространстве-времени, каждая из них движется по собственной геодезической мировой линии и вносит свой вклад в пространственно-временную кривизну, которую чувствуют все другие звезды. Фотоны, оставшиеся от горячих стадий эволюции мира, заливают Землю, принося с собою данные об однородности и изотропии Вселенной. Теоретический анализ этих и многих других проблем представляется невыполнимым, если пытаться прослеживать движение отдельной звезды или фотона. Ho мощное статистическое описание дает точные результаты. Более того, для большинства задач в астрофизике и космологии простота статистических описаний — игнорирование столкновений — адекватна. Обычно для крупномасштабного поведения системы (например, галактики) столкновения не существенны или они настолько существенны, что возможно жидкостное описание (например, внутри звезд).
1J Более софистическое и детальное изложение этого предмета можно найти, например, в работах [9, 211, 212, 214, 231, 232]; см. также приведенную в них литературу. Особенно хорошую вводную обзорную статью написал Эйлер [9].
2
240 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
Объем в фазовом пространстве для группы тождественных ¦частиц
Лоренц-ин варианта ость объема в фазовом пространстве
Теорема Лиувилля (сохранение фаао-вого объема)
Рассмотрим в таком случае множество частиц (звезд, фотонов, или черных дыр, или ...), которые движутся в пространстве-времени по геодезическим мировым линиям, не испытывая столкновений. Предположим для простоты, что все частицы имеют одинаковую массу покоя. Тогда вся информация статистической природы о частицах может быть заключена в одной функции —«функции распределения» или «плотности в фазовом пространстве», JT-Определим..#1, исходя из измерений, выполненных конкретным локально лоренцевым наблюдателем в конкретном событии IT50 в искривленном пространстве-времени. Дадим наблюдателю коробку с 3-объемом Tх (с воображаемыми стенками) и попросим сосчитать, сколько частиц N1 находящихся внутри коробки, имеют локально лоренцевы компоненты импульса р1 в интервале
P^-I-Api <pj<Pj+ ^Apj.
(Он может не рассматривать энергии частиц р°; поскольку все частицы имеют одинаковую массу покоя то, энергия
P0 = (т2 -f- P2Yfi
однозначно определяется импульсом.) Объем импульсного пространства, занимаемого частицами N1 есть Tp = ApxApyApz; объем в фазовом пространстве равен
TssTxTp. (22.41)
Мнения других наблюдателей в с9*0, движущихся относительно первого, по вопросу о том, какой пространственный объем Tx и какой импульсный объем Tp занимают те же N частиц, будут расходиться:
T* и Tp зависят от выбора лоренцевой системы отсчета. (22.42)
Однако величина произведения T = TxTр («объем в фазовом пространстве») будет одинакова для всех наблюдателей:
Фазовый объем Т, занимаемый данным набором N тождественных частиц в данном событии в пространстве-времени, не зависит от локально лоренцевой системы отсчета, в которой он измеряется. (22.43)
(Доказательство см. в дополнении 22.5.) Более того, при движении тех же N частиц по их мировым геодезическим линиям в пространстве-времени (и в импульсном пространстве) охватываемый ими объем в фазовом пространстве T остается постоянным:
Объем T1 занимаемый данным множеством N частиц, не зависит от положения на мировой линии множества («Теорема Лиувилля в искривленном пространстве-временш). (22.44)
(Доказательство см. в дополнении 22.6.)
§ 22.6. Кинетич. теория в искривленном, пространстве-времени 241
2
Величина, более удобная для приложений по сравнению с объемом T, занимаемым в фазовом пространстве данным набором N частиц, — это «плотность числа частиц в фазовом пространстве» («функция распределения») в окрестности одной из этих частиц:
JT = NlT.
(22.45)
От чего зависит эта плотность? Она зависит от положения в пространстве-времени события (9s, в котором проводятся измерения, и от 4-импульса р частицы, в окрестности которой проводятся измерения. Однако, поскольку все частицы имеют одинаковую массу, 4-импульс р не может принимать произвольное значение в касательном пространстве в событии аР. Вернее, 4-импульс р ограничен «передним массовым гиперболоидом» в (9s
