Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
22.8. Электродинамический векторный потенциал
Покажите, что в любой системе координат коэффициенты связности в уравнениях (22.19а) и (22.176) сокращаются, поэтому последние можно записать в виде
JPliv = Zlv1U-^n1V1 (22.20а)
^aB-V ^Pv.a + э = 0. (22.206)
(Уравнения (22.20а) и (22.206) можно представить на языке дифференциальных форм: F = dA, dF = 0.) Используя затем этот вид уравнений, покажите, что из уравнения (22.19а) следует уравнение (22.176), как утверждалось в тексте.
§ 22.5. Геометрии, оптика в искривленном пространстве-времени 225
2
22.9. Закон сохранения заряда при наличии тяготения упражнения
Покажите, что из уравнений Максвелла (22.17а) и (22.176), как и в специальной теории относительности, при наличии тяготения следует закон сохранения заряда (22.18а). [Указания: Используйте антисимметрию FaP; остерегайтесь неперестановочности ковариантных производных, с которыми приходится иметь дело ори применении уравнения (16.6). Иначе говоря, покажите, что в произвольной системе координат уравнение (22.17а) можно записать в виде
УШ (^|7Ї pa^=4я/“ (22л7а,)
а (22.18а) —в виде
л« - T7==T T*W\T\Ja) = 0, (22.18а')
Vlg| дха
и продемонстрируйте это в какой-нибудь системе координат.]
22.10. Электромагнитное поле, взаимодействующее заряженным веществом
Так же как в специальной теории относительности, при наличии тяготения («принцип эквивалентности») тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет вид
Т(ЕМ)аь = ( . (22.21)
Используя уравнения Максвелла (22.17а) и (22.176) при наличии тяготения, покажите, что
Ti**** # = - FafiJti. (22.22)
Ho Fa^jfi — это как раз приходящаяся на единицу объема лорен-цева 4-сила, с которой электромагнитное поле действует на заряженное вещество [см. уравнение движения под действием силы Лоренца (22.17в), а также уравнение (5.43)], т. е. дивергенция тензора энергии-импульса вещества, ТЧвещества^р.р, Следовательно, вышеприведенное уравнение можно переписать в виде (22.186).
§ 22.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ х)
Радиоволны от квазара ЗС279 проходят вблизи Солнца и отклоняются его гравитационным полем. Световые лучи, испущенные
1) Этот параграф частично основан на заметках, приготовленных Вильямом Бурке в Калтехе в 1968 г. Ёолее детальные рассмотрения геометрической оптики в искривленном пространстве см., например, в работах [216—218) и в работах, обсуждаемых и перечисленных в § 41.11.
15-01508
2
226 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
Общие замечания по геометрической оптике
Условия
справедливости
геометрической
оптики
«двухмасштабное» разложение, лежащее в основе геометрической оптики
в далеком прошлом удаленными новорожденными галактиками, распространяются в космологически искривленном пространстве-времени Вселенной, фокусируются (и испытывают красное смещение), давая увеличенные из-за наличия кривизны (но слабые) изображения галактик на земном небе.
В этих и большинстве других примеров распространение света и радиоволн подчиняется законам геометрической оптики. Последние выводятся в данном параграфе в искривленном пространстве-времени из уравнений Максвелла.
Перечислим основные законы геометрической оптики: 1) световые лучи являются нулевыми геодезическими, 2) вектор поляризации перпендикулярен лучам и переносится параллельно вдоль лучей и 3) амплитуда определяется адиабатическим инвариантом, который, согласно квантовой терминологии, утверждает, что число фотонов сохраняется.
Условия, при которых справедливы эти законы, определяются условиями, налагаемыми на три длины: 1) на характерную приведенную длину волн
^ /классическое расстояние ближайЛ X =Imero подхода для фотона с еди-J, (22.23а) хничным моментом импульса /
измеренную в типичной локально лоренцевой системе отсчета (например, в системе отсчета, покоящейся относительно ближайших галактик); 2) на характерную длину X — масштаб изменения амплитуды, поляризации и длины волны, например, имеется в виду, радиус кривизны волнового фронта или длина волнового пакета, испущенного при внезапной вспышке в квазаре; 3) на характерный радиус кривизны Si пространства-времени, в котором распространяются волны
типичная компонента тензора Римана, “1/г M = измеренная в типичной локально ло- . (22.236)
ренцевой системе отсчета
Геометрическая оптика справедлива, если только приведенная длина волны значительно короче каждой из двух других длин (иначе говоря, масштабов):
к < X и X < %, (22.23в)
поэтому волны можно рассматривать локально как плоские волны, распространяющиеся в пространстве-времени с пренебрежимо малой кривизной.
Условие справедливости геометрической оптики (22.23в) используется следующим образом. Сосредоточим внимание на рассмотрении волн, высокомонохроматичных в областях ^ X. (Более сложные спектры можно проанализировать методом супер-йозиции, т. е. с помощью анализа Фурье.) Выделим в векторном
§ 22.5. Геаметрич. оптика в искривленном прсстранстве-времеки 227
