Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
22.15. Закон обратных квадратов для потока
Удельный поток излучения, входящий в телескоп от данного источника, определяется формулой
Fv=j/vdQ; (22.50)
интегрирование здесь проводится по полному телесному углу (предполагаемому <^4л), занимаемому источником на небе наблюдателя. Используя уравнение Больцмана (сохранение IvIv3), покажите, что для наблюдателей, покоящихся относительно друг друга в плоском пространстве-времени, Fv ~ (расстоянию от источника) ~а.
Беоетолкнови-тельное уравнение Больцмана (кинетическое уравнение)
Связь функции распределения фотонов с удельной интенсивностью I
Инвариантность и сохранение
Vv3
УПРАЖНЕНИЯ
16*
244 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
УПРАЖНЕНИЯ
22.16. Яркость Солнца
Выглядит ли поверхность Солнца для астронавта, находящегося на Меркурии, сколько-нибудь ярче, чем для студента, стоящего на Земле?
22.17. Чернотельное излучение
Для наблюдателя, покоящегося вблизи источника, «оптически толстый» источник чернотельного излучения (например, поверхность звезды или горячее вещество, наполняющее Вселенную на ранних стадиях расширения) изотропно испускает фотоны с удельной интенсивностью (закон излучения Планка)
ДУ-і ¦ <22-5і>
Здесь T — температура источника. Покажите, что любой наблюдатель в любой локально лоренцевой системе отсчета в любом месте Вселенной, исследующий проходящее через него излучение, будет также видеть чернотельный спектр. Покажите далее, что температура, вычисленная по измеренной на любой частоте интенсивности Iv, и температура, вычисленная из формы спектра, совпадают. (Излучение не «дилютируется» в излучение «серого тела», а остается чернотельным.) В заключение покажите, что температура, измеренная наблюдателем, сдвинута в красную сторону с тем же коэффициентом, что и частота любого данного фотона:
^наблюдаемая / ^наблюдаемая \ .
-=------------=I--------------) для данного фотона. (22.52)
* испускаемая ' v испускаемая /
[Замечание: Красные смещения по происхождению могут быть
«доплеровскими», «космологическими», «гравитационными» или некоторой неразделимой смесью. В любом случае закон параллельного переноса 4-импульса фотона Vpp = 0 гарантирует, что красное смещение vHa5 людаемапЛ>н(,пуснаемап не зависит от испускаемой частоты.]
22.18. Тензор энергии-импульса
а. Покажите, что тензор энергии-импульса для множества тождественных частиц в событии IiT50 можно записать в виде интеграла по массовому гиперболоиду импульсного пространства в OP0:
T= j (JTp <8 р) (dTp/p°), (22.53)
d^p dpXdpVdpt „
——— =з-------—----- в локально лоренцевой системе отсчета. (ZZ.bi)
[Заметим (см. дополнение 22.5), что dTplp° есть лоренц-инва-риантный элемент объема для любого сегмента массового гиперболоида.]
б. Проверьте, что для любого множества тождественных
§ 22.6. Кинетич. теория в искривленном, пространстве-времени 245
2
частиц из уравнения Больцмана dJTldk = 0 следует V-T = 0. [Указание: Вычислите V-T в локально лоренцевой системе отсчета, используя вышеприведенное выражение для T и уравнение геодезических, записанное в виде Dpf1Id1K = 0.]
22.19. Кинетическая теория для нетождественных частиц
Для множества частиц с большим разбросом масс покоя определите плотность в фазовом пространстве:
Jf = <yox<r>v&m * (22.55)
где Tx —пространственный 3-объем, Tv —импульсный 3-объем, a AN — число частиц в области TJTv с массами покоя в интервале m — Ат/2 и т + Ат/2. Покажите, что имеют место следующие результаты:
а. TxTpAm не зависит от лоренцевой системы отсчета и от положения на мировой трубке пучка частиц.
б. JT можно рассматривать как функцию положения # в пространстве-времени и 4-импульса р внутри будущего светового конуса в касательном к & пространстве:
Jf = Jfi?, р). (22.56)
в. Jf удовлетворяет бесстолкновительному уравнению Больцмана (кинетическому уравнению)
djf P Wl _ Q вдоль геодезической траектории
любой частицы. (22.57)
г. В локально лоренцевой системе отсчета jV‘ можно записать в виде
= [(р0/т) AxAyAz] [АрОАр*АрУАр*] ’ (22.58)
д. Тензор энергии-импульса в событии & можно записать в виде интеграла по внутренней области будущего светового конуса импульсного пространства
Tllv = j (Жpv) m~l dpо dp1 dp2 dp3 (22.59)
в локально лоренцевой системе отсчета (обозначение интеграла разъяснено в курсе 1, см. дополнение 5.3) или в обозначениях, не зависящих от системы отсчета,
отсюда
T= j (jfP ® р) т_|*1,
T=f (jfр <g> р) т-1 dр° Д dp1 Д dp2 Д dp3 (22.59') •>*
в локально лоренцевой системе отсчета (обозначение принято в курсе 2, см. дополнение 5.4).
УПРАЖНЕНИЯ
2
246 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
Дополнение 22.5. ОБЪЕМ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
А. Для множества тождественных частиц с ненулевой массой покоя
Выберем событие IP0, через которое проходит частица по имени «Джон» с 4-им-пульсом по имени «Р». В локально лоренцевой системе отсчета в S501 в которой покоится частица Джон («система отсчета с чертой», S), выберем содержащий ее малый 3-объем Tx з= Ax Ay Az. Выберем также малый «3-объем в импульсном пространстве», T- =Apx Apv Apz, с центром в импульсе Джона, который равен Px = P^ = Pz = 0. Сосредоточим внимание на всех частицах, мировые линии которых проходят через T- и которые обладают импульсами pi в области T-, окружающей Pi = 0.
