Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
.2 _______
тг, р лежит внутри будущего светового конуса.
Следовательно,
JT = JT
/положение &
( в пространстве-\времени
4-импульс р, который должен лежать на переднем массовом гиперболоиде в касательном пространстве в 3і
. (22.46)
Выберем из множества одну частицу с геодезической мировой линией #(А) [А, = (аффинный параметр) = (собственное время, если частица имеет конечную массу покоя)] и 4-импульсом р(А). Исследуем плотность в фазовом пространстве в окрестности этой частицы в каждой точке ее мировой линии:
JT = JT [Ss(A)1 P(A)].
Вычислим JT(%) следующим образом:
1. Выберем начальное событие йР(0) на мировой линии и объем фазового пространства Т, содержащий частицу.
2. Покроем красной краской все частицы, содержащиеся В f И относящиеся К событию CiP0.
3. Проследим за движением красных частиц наряду с начальной частицей в пространстве-времени.
4. При движении форма занимаемой ими области фазового пространства экстенсивно изменяется, однако ее объем TT остается неизменным (теорема Лиувилля). Кроме того, ни одна из частиц не может войти или покинуть эту область фазового пространства (однажды в этой области — всегда в этой области, однажды вне ее — всегда вне ее; границы области фазового пространства прикреплены к частицам и движутся вместе с ними).
5. Следовательно, при любом А вдоль начальной мировой линии частицы частица находится в области фазового пространства неизменного объема T, неизменного числа частиц N и неизмен-
Плотность числа частиц в фазовом пространстве (функция распределения)
16—01508
242 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
г
Ґ
Г . |р|» д|р| до- (5
т (р®)3 Др° ДО f
Sz = St
rx.ast
pv
Пространственный 3-объем Tx
Рг Импульсный 3-обьем
ФИГ. 22.2.
Плотность числа фотонов в фазовом простраастве, интерпретируемая как функция удельной интенсивности Iv. Астроном имеет телескоп с фильтром, который пропускает только фотоны, приходящие из малого телесного угла AQ (проведенного вдоль направления оси z) и имеющие энергии в интервале от р° до p0 H- Ap0. Собирающая площадь этого телескопа лежит в плоскости х, у (перпендикулярно падающему пучку фотонов). Пусть 6N — число фотонов, пересекающих площадь^ за интервал времени 6г. (Все энергии, площади, времена и длины измеряются в ортонормальной системе отсчета («собственная система отсчета»; § 13.6), которая подвергается переносу Ферми — Уолкера вдоль (возможно ускоренной) мировой линии астронома, или, эквивалентно, в локально лоренцевой системе отсчета, покоящейся в данный момент относительно астронома.] Сразу перед началом интервала времени 6t в показанном на фигуре цилиндре с площадью основания Jt и высотой Ьг = 6t находятся SN фотонов. Поэтому их пространственный 3-объем равен eV0x = .yfdt, а импульсный 3-объем равен cVsv = (р°)гДр°ДЙ. [Для облегчения наглядного представления (см. фигуру) направление векторов импульса изменено на противоположное (телескоп как источник, а не приемник!).] Отсюда плотность фотонов в фазовом пространстве равна
где V — частота фотонов, измеренная с помощью телескопа (p0 = ftv). Удельная интенсивность фотонов Zv (классическое понятие в астрономии) есть энергия на единицу площади, в единицу времени, на единичный интервал частот, в единице телесного угла, проходящая через перпендикулярні лучу поверхность
Непосредственное сравнение дает JT = h~* [IvZvs).
Таким образом, сохранение JlT вдоль мировой линии фотонов означает сохранение IvNa. Этот закон сохранения находит важные применения в космологии (см., вапример, дополнение 29.2 и упражнение 29.5) и в эффекте гравитационной линзы [156]; см. также упражнения 21.15—22.17.
'У^р Jt bt (р0)2 (Ap0) AQ H3Jbtv^ Av AQ ’
6N SN
SN
S N
Iv~ Jbt Av AQ •
hvbN
§ 22.6. Кинетич. теория в искривленном пространстве-времени 243
2
ного отношения JjT = NITT
djy [Sa (X.) р (X)]_q да 47)
dh
Это уравнение сохранения вдоль траектории частицы в фазовом пространстве называется «бесстолкновительным уравнением Больцмана» или «кинетическим уравнением».
Важное значение имеет приложение уравнения Больцмана к фотонам. При обсуждении фотонов обычно не пользуются понятием плотности в фазовом пространстве. Скорее говорят об «удельной интенсивности» Iv излучения на данной частоте v, распространяющегося в данном направлении та. Она измеряется в определенной локально лоренцевой системе отсчета:
J _______________________d (энергия)____________________ (22 48)
v d (время) d (площадь) в. (частота) в. (телесный угол)
(см. фиг. 22.2). Простое вычисление в локально лоренцевой системе отсчета показывает, что
JT = A-4 (IvIva), (22.49)
где h — постоянная Планка (фиг. 22.2). Таким образом, если два различных наблюдателя в одном и том же или в различных событиях пространства-времени смотрят на один и тот же пролетающий фотон (или соседние фотоны), они будут видеть различные частоты V («доплеровский сдвиг», «космологическое красное смещение», «гравитационное красное смещение») и различные удельные интенсивности Iv, но будут получать одинаковые значения отношения IvIva. Таким образом, IvIv3, подобно JT, инвариантно относительно наблюдателей и событий вдоль данной мировой линии фотона.
