Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
г . Исследуем этот пучок в другой локально
лоренцевой системе отсчета в с?Р0 («система отсчета без черты» S), которая движется со скоростью р относительно покоящейся системы отсчета. Ориентируем оси таким образом, чтобы относительное движение систем, отсчета происходило в X и X направлениях. Тогда для пространственного объема Tx, занимаемого в новой системе отсчета, имеем Ay = Ay, Az = Az (движение не влияет на размеры в поперечных направлениях) и Ax = = (I — P2)1/2Ax (лоренцево сокращение в продольном направлении). Следовательно, («закон преобразования пространственных объемов»), [поскольку P0 = т/(I — Р2)1/2],
Tx = (1 — Р2)1/2 T1 или, эквивалентно
/постоянная, не зависящаяЧ РйТх = тТ- = I от лоренцевой системы J.
\отсчета /
На фазовой диаграмме, которая аналогична пространственно-временной диаграмме, изображен разброс импульсов частиц в пучке и показано, что Apx =
= Арх/(1 — р2)1/2. Лоренц-преобразование от % к 1S не влияет на поперечные компоненты импульсов, поэтому Apv = Apv, Apz = Apz. Следовательно, Тр = Т-/( 1 —
— P2)1/! («закон преобразования импульсных объемов»), или, эквивалентно,
Cys
_ / постоянная, не зависящая \
\ от лоренцевой системы отсчета I ’
Хотя пространственные 3-объемы Ts и и импульсные 3-объемы Tp и T-
сув_
V
P о
X
§ 22.6. Кинетич. теория в искривленном пространстве-времени 247
отличаются, объем в шестимерном фазовом пространстве является лоренц-ин-вариантным
T = T-T- = TxTp.
Это геометрический объект, не зависящий от системы отсчета!
Б. Для множества тождественных частиц с нулевой массой покоя
Рассмотрим последовательность систем частиц с уменьшающейся массой покоя и увеличивающейся скоростью относительно лабораторной системы отсчета. Для каждого пучка частиц в каждой системе величины P0Tx, TpIP0 и TxTp являются лоренц-инвариантными. Следовательно, в пределе при т-*- О, P 1 и P0 =
— т/(I — P2)1/2к конечной величине (частицы нулевой массы покоя, движущиеся со скоростью света) P0Tx, TpIP0 и TxTv все еще остаются лоренц-инвариантными геометрическими величинами.
Дополнение 22.6. СОХРАНЕНИЕ ОБЪЕМА В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим очень маленький пучок тождественных частиц, которые движутся в искривленном пространстве-времени по соседним геодезическим. Измерим объем T пучка в фазовом пространстве (Т = TxTp в любой локально лоренцевой системе отсчета) как функцию аффинного параметра % вдоль центральной геодезической пучка. Последующий расчет показывает, что
ATIArK = О
(«теорема Лиувилля в искривленном про-], странстве-времени» /
і I
-:';? -.в*.*:-
W1' С .j ¦Щ
Дх
|4/>г/2т)бГ
t = О
г = Sr
Каждая частица движется со скоростью dxldl, пропорциональной высоте на диаграмме:
dx/dt = рх Im,
и импульс ее сохраняется dp*ldt = 0. Следовательно, область, занимаемая частицами, деформируется с сохранением площади. То же справедливо для (у — pV) и (г — р*).
2
248 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
Pz
Ap1
< \
/'-'Г
Ax
t = О
Каждая частица «фотон» движется Co скоростью dxldt = 1 и dpxldt =Ob локально лоренцевой системе отсчета. Площадь и форма области, занимаемой частицами, сохраняются.
Доказательство для частиц с конечной массой покоя. Рассмотрим движение час* тицы в течение интервала времени бт, используя локально лоренцеву систему отсчета, в которой покоится центральная частица. Все скорости в этой системе
отсчета малы, поэтому = mdx*/dt.
Следовательно, см. фигуры, разбросы в импульсе и положении не изменяют
Да: Apx, Ay Apу, Az Арг, т. е.
AcV0 Ь(АхАу AzApx Арй Apz)
__ _
Ho т = а% -f- b для некоторых произвольных постоянных а и Ь, поэтому dJT/dX = = 0. Доказательство для частиц с нулевой массой покоя. Рассмотрим движение частицы в локально лоренцевой системе отсчета, в которой импульс центральной
Ay
t = 0
I
>У
Ay
t - St
Скорость каждой частицы («фотона») пропорциональна высоте на диаграмме:
dy/dt = pV/P°,
и dpV/dt = 0. Следовательно, область, занимаемая частицами, деформируется с сохранением площади. То же справедливо для (г — рг).
§ 22.6. Кинетич. теория в искривленном пространстве-времени 249
частицы равен P = .P0 (в0 + еж). В этой системе отсчета все частицы имеют импульс ру «С р°, рг «С P0, рх = р° + О (IpyWP0) « P0. Поскольку при подходящей нормировке аффинных параметров (см. дополнение 22.4) ра = CixaIdK, можно записать Sc3Idt = PiIp0, т.е.
-g- = 1 + О (IpVP0]2+ [рг/Р°]2) « 1,
dy _ Pv dz рг
dt ~ Po * dt ~ Po *
Следовательно (см. фигуру), Ax Apx, Ay Apv и Az Apz не изменяются, и
dHP _ 6(Дх Ду Дг Др* ДрУ Др1) п ~= Si ~U*
Ho t и аффинный параметр К центральной частицы связаны соотношением t = = P0K [ср. уравнение (16.4)], поэтому
dT IdK = 0.
ЧАСТЬ
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЗВЕЗДЫ
Здесь читатель, используя магические зелья и силы геометродинамики, покоряет звезды
23. СФЕРИЧЕСКИЕ ЗВЕЗДЫ
I
§ 23.1. ПРОЛОГ
Несмотря на красоту теории тяготения, до тех пор пока она не касается реального физического мира, она бесплодна. Только суровая действительность экспериментов и астрономических наблюдений может вдохнуть жизнь в теорию тяготения. И только путем построения теоретических моделей звезд (часть У), Вселенной (часть VI), звездного коллапса и черных дыр (часть VII), гравитационных волн и их источников (часть VIII) и проведения гравитационных экспериментов (часть IX) можно получить ясное представление о связях между теорией тяготения и действительностью.
