Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
= — (|or I2 +-JRafikakр ) (22.37)
где к — аффинный параметр вдоль центрального луча (k = d/dk), а «величина сдвига лучей» | а | определяется уравнением
І о Iа Si I ka, ^ka' і (k»J. (22.38)
[Указание-. Это энергичное упражнение по манипуляции индексов. Ключевыми уравнениями, необходимыми для манипулирования, являются следующие: ЛъакР = (Jcata)Jt [уравнение (22.36)];
= 0 [уравнение геодезических для лучей (22.32)]; ^cr1B= [уравнение, следующее из ка = 0 а]; правило (16.6в) для перестановки ковариантных производных от вектора.]
б. Покажите, что в начале локально лоренцевой системы отсчета, где k = w (е* + ez)
I а I2 = 4" UcX, х ку, у)2 -)- (кх, у)2. (22.39)
Таким образом, для | а |а получаем неотрицательное значение, что оправдывает использование знака абсолютной величины.
в. Обсуждение'. Величина | а | названа сдвигом пучка лучей, так как с ее помощью можно измерить степень проскальзывания соседних лучей относительно друг друга (см., например, [25]). Следовательно, уравнение фокусировки (22.37) утверждает, что сдвиг фокусирует пучок лучей (делает Cpjf1I2Idk2 < 0); кривизна пространства-времени также фокусирует его, если Ra^kak? > 0, и дефокусирует, если Ra$k*№ < 0. (Если первоначально круговое поперечное сечение пучка зубочисток сжимать в эллиптическое, то пучок будет испытывать деформацию сдвига.)
г. Предположите, что плотность энергии Tqq, измеренная любым наблюдателем в любом месте пространства-времени,— неотрицательная величина. Комбинируя уравнение фокусировки (22.37) с уравнением поля Эйнштейна, сделайте вывод, что
^0 для любого пучка лучей, лежащих на одной
и той же поверхности постоянной фазы (22.40)
в любом месте пространства-времени
(теорема фокусировки). Эта теорема играет решающую роль в физике черных дыр (§ 34.5) и в теории сингулярностей (§ 34.6).
S 22.5. Геометрии• оптика в искривленном пространстве-времени 235
Дополнение 22.3. ГЕОМЕТРИЯ ЦУГА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
2
наблюдаемое в локально наблюдаемая в локально
лоренцевой системе отсчета лоренцевой системе отсчета
На фигуре показаны в локально лоренцевой системе отсчета поверхности постоянной фазы 6 = const, выходящие из «поверхности одновременности» t — 0. Поверхности постоянной фазы представляют собой чередующиеся «гребни» (6 = 1764я,
0 — 1766я, . . .) и «впадины» (0 = 1765л, 0 = 1767л, . . .) волнового цуга. Эти поверхности образуют 1-форму (Г = 40, «соответственный вектор» которой Ic = V0 является «волновым вектором». Согласно уравнениям Максвелла, волновой вектор равен нулю (к -к = 0) [уравнение (22.30)1, следовательно, он лежит на поверхности постоянной фазы:
/ЧИСЛО ПОВерХНОСТеЙ, \ __ ,JQ !(Ч-ЛГ IcX _
'пересекаемых вектором к/ ’ ’
I = к-к = 0.
Однако он не только лежит на поверхности постоянной фазы, но и перпендикулярен этой поверхности! Любой вектор у на этой поверхности должен удовлетворять равенству к •? = (к, V > = (d0, V > = 0, так как он ие пересекает поверхностей.
В геометрической оптике предполагается, что приведенная длина волны X, измеренная в типичной локально лоренцевой системе отсчета, мала по сравнению с масштабом неоднородностей в волновом цуге X и радиусом кривизны пространства-времени 31. Поэтому в областях, размеры которых значительно больше X,
236 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
но меньше X или J?, волны являются плоскими и монохроматическими и существуют лоренцевы системы отсчета (римановы нормальные координаты). В одной из этих «протяженных» локально лоренцевых систем отсчета фаза должна определяться выражением
0 = ZcaZa + const.
Никакое другое выражение не даст V0 = к. Соответствующий векторный потенциал [уравнение (22.25)] будет равен
+ ОПТИКЕ,) і
следовательно,
к0 = 2л/(период волны) = 2лv = м =E= (угловая частота),
I к I = 2я/(длина волны) = 1/Х = со, к указывает направление распространения волны.
В каждом событии пространства-времени имеется волновой вектор; если концы этих волновых векторов скрепить друг с другом, то образуется семейство кривых — «световых лучей» или просто «лучей» с касательным вектором к. Лучи, подобно касательному вектору, лежат как на поверхностях постоянной фазы, так и перпендикулярно им.
Аффинный параметр луча К (его не следует смешивать с длиной волны = 2itX) удовлетворяет соотношению k = d/dk и, следовательно, имеет вид
К = t/k° -f- const = ti(о + const,
где t — собственное время вдоль луча, а не самого луча (его собственное время равно нулю !), измеренное локально лоренцевым наблюдателем, который отмечает угловую частоту со. Поэтому несмотря на то, что со и і являются величинами, зависящими от системы отсчета, их частное tlсо, измеренное вдоль луча {но не вне луча), представляет собой аффинный параметр, не зависящий от системы отсчета. Для частицы можно и естественно отождествить аффинный параметр X с собственным временем т. Для светового луча это неестественно и невозможно. Интервал собственного времени вдоль луча тождественно равен нулю. Появление к вместо исчезнувшего т дает нам такое средство, о котором можно было и не подозревать. Задавшись световым лучом, испущенным в событии Л и проходящим через событие SB, можно задать третье событие "ё вдоль той же самой нулевой мировой линии, которое находится от і в 2 раза дальше, чем SS, в новом смысле слова «дальше»; оно не имеет какой бы то ни было непосредственной связи с собственным временем (нуль !), а определяется равенством приращений аффинного параметра (Я^ — =
