Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
gte = (d/dt) • (d/dQ) = 0 (2)
и
gti = (діді) • (дідф) = 0. (3)
Вектор (d/dr)tQp не зависит от произвольных направлений, введенных при первоначальном выборе координат 0, ф на сфере s; он инвариантен при преобразова-
ниях 0 = 0 (0', ф ), ф = ф (0', ф'). Ho ничто, за ислючением 0 и ф, не ввело в обсуждение элементы, неинвариантные при вращениях, поэтому вектор (d/dr)teф должен быть инвариантным векторным полем относительно вращения (в отличие, скажем, от d/dj>), и, следовательно, он, подобно и, ортогонален каждой 2-сфере s. Из этой инвариантности следует
grQ = (d/dr) (d/dQ) = 0, 5(4)
grt = (d/dr) - (d/dj.) = 0, (5)
что вместе с предварительно установленным равенством glT = 0 дает gtr = 0.
В результате получается формула (23.3) для линейного элемента. Если перейти
к обозначениям RnT для радиальной и временной координат, причем координату R определить формулой (1) и положить
dT = в*!Г J- df- — drI.
JL Srr dr g/t dt J •
где е* —интегрирующий множитель, вовникший из-за изменения обозначения . то получатся шварцшильдовСкие координаты и линейный элемент (23.7), несмотря на то, что такое преобразование возможно (т.е. несингулярно) только там, где
17-01508
258 23. Сферические звезды
Ш/\ЛТ ФО:
(Vi?)2= {dR/dtyi 1 {дН/дг>2 -л0.
Если (IV) f пространство-время асимптотически плоское, т. е. r-voo есть та область, где метрика принимает вид, который она имеет в специальной теории относительности, тогда произвольность координаты t, т.е. t' = t' (f), можно исключить, потребовав, чтобы Qu = —1 при г—>-оо. В таком случае производная d/dtri в, ф однозначно определяется естественными требованиями (независимо от произвольного выбора 0, ф), и если мы хотим сделать еще одно физическое предположение о том, что (V) f геометрия не зависит от времени, то можем это сформулировать как QgliJdt = 0.
Форма любой метрика может выявлять природу используемых координат
Геомет рическнй смысл
шварцшильдов* Ckfx координат:
i) В»Ф — Углы на офере
§ 23.3. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ШВАРЦШИЛЬДОВСКИХ КООРДИНАТ
Поскольку в общей теории относительности допускается использование произвольных координат, физический смысл утверждений относительно компонент тензора или вектора и других физических величин здесь не всегда очевиден. Имеются, однако, некоторые ситуации, где интерпретация почти также прямолинейна, как в специальной теории относительности. Наиболее очевидный пример — центральная точка локально инерциальной системы координат, где принцип эквивалентности позволяет трактовать все локальные величины (величины, не содержащие кривизну пространства-времени) точно так же, как в специальной теории относительности. Второй пример — шварцшильдовские координаты для сферической системы.
Первая реакция при встрече с новой метрикой — исследовать ее, но не для того, чтобы узнать о гравитационном поле (о нем можно получить непосредственную информацию из тензора кривизны), а для того, чтобы узнать о координатах. (Являются ли они, например, локально инерциальными в некоторой точке?)
В обозначения, данные координатам, не вложен какой-либо смысл. Вполне допустимо и не влияет ва физику или математику релятивистской проблемы координатное преобразование t' = 0, г = ф, 0 ' = г, ф' = t. Единственно, чему оно способствует,— это облегчению общения между исследователем, применяющим это преобразование и его коллегами. Таким образом, обозначения t, г, 0, ф для шварцпшльдовских координат (23.7) обеспечивают мнемоническую схему, указывающую на геометрическое содержание координат 1). Обозначения 0, ф, в частности, оправданы
*) В качестве примера обозначений, вводящих в заблуждение, рассмотрите обозначения в равенстве
— еІФІв,) dФ'z + e2Mв"> rf0'2 + 0'2 (dt'2 + sm2 t' dr'2),
которое эквивалентно (23.7), но в нем используются координаты t' = 0, г' = ф, 0' = г, ф' = t.
§ 23.3. Физическая интерпретация шварцшилъдовских координат 259
I
тем, что на каждой двумерной поверхности постоянных г и t расстояние между двумя соседними событиями равно ds2 = г2 dQ1, как это имеет место в случае стандартных координат 8, ф на сфере радиусом г. Ясно, что площадь этой двумерной сферы равна
А = j (г <й) (г sin 0 dф) ~ Anr2. (23.9)
Следовательно, метрика (23.7) указывает, как измерить коорди-
нату г, которая используется в ней. Можно просто измерить (в единицах собственной длины) площадь А сферы, составленной из всех точек, вращательно эквивалентных точке а7\ для которой ищется величина г (3і), и затем вычислить
/ф\ _ ГI собственная площадь сферы, \//_1 1/2
~ L \проходящей через точку 3і ) J (23.9')
Шварцшильдовские координаты выбраны для удобства, а не для облегчения построения машины, измеряющей координаты. Используя их, труднее сконструировать машину для измерения t, чем для измерения Г, 0, ф.
Измеряющее устройство может быть основано на следующих геометрических свойствах t: 1) на независимости от времени расстояний (dgafr/dt = 0) между мировыми линиями постоянного г, 0, ф; 2) на ортогональности (gtr = gte— gtф = 0) этих мировых линий к гиперповерхностям t = const; 3) на нумерации этих гиперповерхностей с помощью координатного времени Минковского (времени специальной теории относительности) на пространственной бесконечности, где пространство-время становится плоским. Эта нумерация приводит к связи
