Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
I
2) приведенная к «шварцшиль-довсвой форме»
S) выведенная более строго
23.1. Изотропные координаты и ньютоновский предел УПРАЖНЕНИЕ
Альтернативным набором координат, иногда используемым для статических сферических систем, является «изотропная система координат» (г, г, 0, ф). Метрика в изотропных координатах имеет вид
ds1 = — е2ф dt2 + е[dr2 + r2dQ2], (23.8)
причем Ф и ц, являются функциями от г.
а. Найдите преобразование координат, связывающее шварцшильдовские координаты (23.7) с изотропными координатами (23.8).
непосредственно равным а(г), т. е. еф = а(г), мы видим, что Ґ = г -J-
+ J[6(r)/e(r)]dr есть интеграл о.т (23.5). Поэтому необходимая координата
t' всегда существует независимо от вида функций a(r), Ь(г), с(г) и Я (г), входящих в уравнение (23.4).
I
256 23. Сферические звезды
упражнение б. Исходя из уравнения (16.2а) [или, эквивалентно, из (18.15в)],
покажите, что в ньютоновском пределе метрический коэффициент Ф изотропного линейного элемента переходит в ньютоновский потенциал, а коэффициент fj, становится равным —Ф. Комбинируя это с «а», найдите, что в ньютоновском пределе Л = rdO/dr.
Дополнение 23.1. СТРОГИЙ ВЫВОД СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА
В § 23.2 дан эвристический вывод сферически симметричного линейного элемента
(23.7) в общем виде. В данном дополнении мы попытаемся дать более строгий вывод, применимый как к нестатическим, так и к статическим системам.
Начнем с многообразия Af4, на котором определена метрика ds2 с лоренцевой сигнатурой. Предположим, что многообразие Mi сферически симметрично в том смысле, что там любой 3x3 матрице вращения А соответствует отображение (вращение) Af4, также называемое А (А : Mi -*• Mi : 3і ASi), которое сохраняет длины всех кривых. Дальнейшие предположения и построения будут отмечены римскими цифрами в скобках (I), (II) и т.д., поэтому можно видеть, какие предположения необходимы для получения линейного элемента (23.7) Крестиками (f) отмечены предположения, которые нельзя использовать в некоторых других физически интересных ситуациях.
Для любой точки 3і образуем набор s = & (3і) = {АЇР1 Є Mi | А ? SO (3)} всех точек, эквивалентных точке З* при вращениях. Предположим, что (I) f поверхность s двумерная поверхность (за исключением центральных точек 3і, для которых она нульмерна) и что (II) метрика на s есть метрика стандартной 2-сферы. Тогда на s будем иметь
(A2)s = R2 (s) dQ\ (1)
где dQ2 — стандартная метрика единичной сферы (dQz = dQ2 + sin 29d(j>2 для некоторых углов 0 и ф, определенных на s) и где 2лН — длина окружности на s. Если Мг — набор всех таких поверхностей s, то : Mi M2 : 3і s = З1 (3і) позволяет получить из функции R : M2 -+-ffl : s —R (s) [функция «окружности» на M2, определенная равенством (1)] соответствующую функцию R : М*М'.З* —>
R (& (3і)), заданную на Af4, которая в конечном счете в некоторых случаях может использоваться в качестве координаты на Mi. (Замечание: SR означает здесь действительные числа.)
Предположим теперь, что (III) f имеется сферически симметричное поле 4-скорости и, определенное так, что если 3і = % (т) есть одна траектория и с и = dldx, то каждая кривая 3і = A1G (т), полученная из этой траектории вращением, должна также быть траекторией и. Ортогональная проекция и на любую сферу s должна в таком случае быть нульмерной, поскольку на 2-сферах нет вращательно инвариантных ненулевых векторных полей. Таким образом, и ортогонально каж дой сфере s. Аналогично, если две траектории и начинаются на некоторой одної сфере s, так что 1S1 (0) = ArS2 (0), то их будет всегда связывать одно и то же вра щение А, т.е. 1S1 (т) = (т), поскольку траектории однозначно определень
§ 23.2. Координата и метрика статической сферической системы 257
I
любой одной своей точкой. Тогда (1S1 (т)) и (?? (т)) — одинаковые кривые на M2, касательный вектор которых d/dx можно также назвать и; таким путем мы получаем некоторое векторное поле и на M2. Присвоим каждой траектории и на M3 другой индекс г, чтобы определить функцию г (s) на M2. Обозначим посредством г = г («5е {&)) соответствующую функцию г на Mi с drldx = 0. Поскольку функции и их градиенты на M2 определяют соответствующие величины на M*, внутренние произведения типа d/ • dg можно определить на M2 с помощью их значений на M4; таким образом из метрики на Mi получается метрика на M2. Тогда, используя формулу (23.5), или, эквивалентно, изображая кривые на M2, ортогональные линиям г = const, и приписывая каждой другой индекс t, получаем координаты с gTi = dr ¦ d/ = 0. Оба индекса, г и 2, были приписаны соответствующим кривым произвольно, поэтому ясно, что нельзя исключить преобразования t' = t' (?) и г' = г' (г).
На одной из 2-сфер s на М* на гиперповерхности ? = 0 выберем координаты
0, ф, произвольно зафиксировав полюс (0 = 0) и начальный меридиан (ф =0). Затем распространим определение 0, ф по гиперповерхности 2 = 0, потребовав, чтобы 0 и ф были постоянными на кривых, ортогональных каждой 2-сфере s, т.е. потребовав, чтобы вектор (5/Зг)еФ был ортогонален каждой s на t = 0. Распространим определение 0 и ф гиперповерхности на t Ф 0, потребовав, чтобы они были постоянны на кривых, касательных и, и, следовательно, (d/dt)Teф ~ U. Ho каждая 2-сфера s есть поверхность постоянных г и t, поэтому (д/дв)гіф и (дідф)пв касательны к s, тогда как u ~ (d/dt) ортогональны каждой поверхности s. Следовательно, в только что построенной системе координат trQj>
