Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
J /і I2 + If Г = 1.
а. Покажите, что компонента /° вектора поляризации не влияет на электрическое и магнитное поля, измеренные в данной системе отсчета, т. е. покажите, что, не оказывая никакого влияния на физические измерения, можно добавить к f величину, кратную к.
3) сохранение «числа фотонов»
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
232 22- Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
б. Покажите, что следующие векторы поляризации соответствуют указанным для них типам поляризации:
f = еж — линейная поляризация в направлении х;
f = By — линейная поляризация в направлении у,
ж. 1 , ¦ • \
T = -г=- (е* -+- IBy) — правая круговая поляризация;
V 2
I
f=^-=-(ex — іви) — левая круговая поляризация;
f = авх + г (1 — оР)11гВу — левая эллиптическая поляризация.
в. Покажите, что тип поляризации (линейная, круговая, эллиптическая с данным эксцентриситетом эллипса) одинаков в любой локально лоренцевой системе отсчета для любого события на данном луче. [Указание: Воспользуйтесь изображениями и абстрактными расчетами, а не преобразованиями Лоренца и вычислениями компонент.]
22.13. Площадь пучка лучей
Запишите уравнение (22.31) в системе координат, в которой одна из координат выбрана за фазу х° = 0 (запаздывающая временная координата).
а. Покажите, что g00 = 0 и в уравнении (22.33) не появляется производных 8/8Q, поэтому распространение а можно описать в пределах одной гиперповерхности 0 = const.
б. Выполните следующее построение (фиг. 22.1). Выберите луч ї?0, вдоль которого должна распространяться амплитуда а. Выберите пучок лучей с двумерным поперечным сечением так, чтобы все лучи 1) лежали на той же поверхности постоянной фазы, что и cS0, и 2) окружали %0. (Поверхность трехмерна, поэтому любой заполняющий ее пучок имеет двумерное поперечное сечение.) Измерьте площадь поперечного сечения пучка А в любом событии S5о в любой локально лоренцевой системе отсчета на «сечении одновременности» X0 = const. (Замечание: Измеренная площадь перпендикулярна к в трехмерном евклидовом смысле; ее можно представить себе как область, мгновенно занимаемую группой фотонов, распространяющихся «бок о бок» вдоль этой области в направлении к.) Покажите, что площадь А в данном событии не зависит от того, какая лоренцева система отсчета используется для ее измерения, однако площадь изменяется от точки к точке вдоль луча IS0 в результате расходимости или сходимости лучей друг относительно друга-.
diJt = (Г -k) А. (22.36)
Затем покажите, что величина Aai везде по лучу cS0 остается постоянной («сохранение потока фотонов»). [Указания-. 1) Любой вектор соединяющий соседние лучи в пучке, перпендикулярен к, поскольку I лежит на поверхности 0 = const и k- I =
§ 22.5. Геометрии, оптика е искривленном пространстве-времени 233
ФИГ. 22.1.
Геометрическая оптика для пучка лучей с двумерным поперечным сечением, лежащим на поверхности постоянной фазы 6 = const, а — пучок, окружающий центральный луч ^0, на пространственно-временной диаграмме с одним опущенным пространственным размером, б — пучок на сечении одновременности, проведенном в локально лоренцевой системе отсчета через событие 3°^. Сечение пучка превращает каждый луч в «фотон», поэтому пучок становится двумерной поверхностью, заполненной фотонами. Площадь Jt этой заполненной фотонами поверхности подчиняется следующим законам (см. упражнения 22.13 и 22.14): I) Jt не зависит от выбора лоренцевой системы отсчета, а зависит только от положения ^00 на jlJr4e 'ёо- 2) Амплитуда волн а удовлетворяет соотношению
Jta2 = const вдоль луча
(«сохранение потока фотонов»). 3) \Л подчиняется «уравнению распространения» (22.36).
= <?,?> = <d0, I > = (изменение 0 вдоль I) = 0. 2) Рассмотрите для простоты пучок с прямоугольным поперечным сечением, который наблюдается в данном событии S50 в определенной локально лоренцевой системе отсчета [у и W — граничные векторы, ?• W = 0 (границы перпендикулярны), v-в0 = W-e0 = 0 (границы находятся на поверхности постоянного времени) и v -k = W -к = 0 (граничные векторы соединяют соседние лучи в пучке)]. Покажите графически, что в данном событии «7s0 в любой другой локально лоренцевой системе отсчета граничные векторы равны v' = ? -ак и w' = w + рк, где а и р — некоторые числа. Сделайте вывод, что в данном событии Si0 во всех лоренцевых системах отсчета поперечное сечение имеет тождественную форму и тождественную площадь и перпендикулярно направлению распространения (k-V = к'W= 0). 3) Путем вычисления в локально лоренцевой системе отсчета покажите, что = (V *к)Л- 4) Исходя из соотношения дка = — y(V -к) а, сделайте вывод, что дк(с4а?) = 0.]
2
УПРАЖНЕНИЯ
2
234 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
УПРАЖНЕНИЯ
22.14. Теорема фокусировки
Площадь поперечного сечения А пучка лучей, лежащих на одной и той же поверхности постоянной фазы, изменяется вдоль центрального луча пучка со скоростью (22.36) (см. фиг. 22.1).
а. Выведите следующее уравнение («уравнение фокусировки») для второй производной от Л11г\
