Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
= «Аффинный параметр» имеет смысл для любой даже изолированной
нулевой геодезической. В этом отношении он должен отличаться от «расстояния, определяемого по светимости», которое иногда вводится при рассмотрении распространения излучения в искривленном пространстве-времени и находится по расхождению двух или более световых лучей, приходящих от общего источника.
Уравнения Максвелла в том виде, в котором они использованы в тексте [уравнение (22.28')], гарантируют, что комплексный вектор поляризации f перпендикулярен волновому вектору к и, следовательно, лежит в плоскости постоянной фазы (см. фигуру, стр. 235). Смысл вектора поляризации разъясняется в упражнении 22.12.
§ 22.5. Геометрич. оптика в искривленном пространстве-времени 237
2
Дополнение 22.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ1)
A. Допущение геометрической оптики
Электромагнитные волны, распространяющиеся в свободной от источников области пространства-времени, являются локально плоскими и монохроматическими (приведенная длина волны ); X — масштаба изменения амплитуды, длины волны или вектора поляризации и ^ — среднего радиуса кри-
визны пространства-времени).
Б. Лучи, фаза и волновой вектор (см. дополнение 22.3)
Все (амплитуда, вектор поляризации, энергия и т. д.) переносится вдоль лучей;
величины на одном луче не влияют на величины на другом луче.
Лучи представляют собой нулевые геодезические искривленного пространства-времени с касательными векторами («волновые векторы») к:
Vkk = 0.
Лучи лежат на поверхностях постоянной фазы 0 = const и перпендикулярны им; касательные векторы лучей равны градиенту 0:
k = V0.
В локально лоренцевой системе отсчета к0 — «угловая частота», к°/2п — обычная частота волн и
п = Ttjk0
— единичный 3-вектор, указывающий направление распространения волн.
B. Амплитуда и вектор поляризации
Волны характеризуются действительной амплитудой а и комплексным вектором поляризации f, имеющим единичную длину f-f = 1. (За исключением f, все фундаментальные величины 0, к, а действительны. Для более глубокого понимания смысла вектора поляризации f Cm. упражнение 22.12.)
Вектор поляризации повсюду ортогонален лучам k-f = 0 и параллельно переносится вдоль них Vkf = 0.
Закон распространения амплитуды имеет вид
дка= —^-(V-к) а.
Он эквивалентен закону сохранения фотонов (классически — лучей); а2к — «сохраняющийся ток», удовлетворяющий уравнению V. (а2к) = 0;
(8лЙ)-1 j a*k°VTT\ d?z — число фотонов (лучей) в 3-объеме интегрирования
на любой гиперповерхности х° = const, которое остается постоянным при переносе объема вдоль- лучей.
х) Резюме результатов, полученных в тексте и упражнениях.
238 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
Закон распространения удовлетворяется на каждой гиперповерхности постоянной фазы в отдельности. Его можно интерпретировать как закон сохранения а?А, где Л —двумерная плошадь поперечного сечения импульса фотонов или лучей (см. упражнение 22.13).
Г. Векторный потенциал, электромагнитное поле и тензор энергии-импульса
В любом событии векторный потенциал в лоренцевой калибровке имеет вид
А = * {аеЩ},
где 31 означает действительную часть.
Тензор электромагнитного поля ортогонален лучам, F-k = 0, и определяется формулой
F = »{ioe,BkAf}.
Соответствующие электрическое и магнитное поля в локально лоренцевой системе отсчета выражаются в виде
E = ЗІ {іак°еів (проекция / на перпендикуляр fc)},
B = MX-E, где n = ft/fc0.
Тензор энергии-импульса, усредненный по масштабам, превышающим длину волны, равен
T = (1/8я) а2к ® к.
В локально лоренцевой системе отсчета он определяет плотность энергии
Г00 = (1/8я) {ak°)z
и поток энергии
JOi = JOOreJj
так что энергия переносится вдоль лучей (в направлении п = к/к°) со скоростью света. Этот тензор энергии-импульса тождествен тензору энергии-импульса пучка фотонов с 4-импульсом р = Йк.
Закон сохранения энергии-импульса V-T = O следует из закона сохранения луча V ¦ (a2k) = 0 и уравнения геодезических Vkk = (k-V) k= 0;
8nV-T = V-(a2k<8k)=[V-(a2k)]k + a2(lt-V)k = 0.
Адиабатический (отвечающий геометрической оптике) инвариант «число лучей» а2к° или «число фотонов» (8лЙ)_1а2А:0 в единице объема пропорционален энергии (8я)-1а2(й°)а, деленной на частоту /с0, и точно соответствует адиабатическому инварианту гармонического осциллятора Е/и> [227—229].
Д. Интерпретация геометрической оптики иа языке фотонов
Законы геометрической оптики можно переинтерпретировать изложенным ниже образом. Эта интерпретация — основа стандартной квантовой теории электромагнитного поля (см., например, гл. 1 и 13 из книги [230]); классическим пределом этой квантовой теории является стандартная электродинамика Максвелла.
Фотоны представляют собой частицы нулевой массы покоя, которые движутся вдоль нулевых геодезических пространства-времени (нулевые лучи).
§ 22.6. Кинетич. теория в искривленном пространстве-времени 239
2
4-импульс фотона связан с касательным вектором к нулевому лучу (волновым вектором): р = Hk. Перенормировка аффинного параметра
