Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2
потенциале электромагнитной теории быстро меняющуюся действительную фазу
0 ~ (масштаб распространения)/^
и медленно меняющуюся комплексную амплитуду (т. е. имеющую действительную и мнимую части)
А = действительная часть {амплитуда X ei0} =
= Л. {амплитуда X ei9}.
Представим себе, что масштаб изменения амплитуды X и масштаб кривизны пространства-времени SR удерживаются фиксированными, в то время как приведенная длина волны X делается короче и короче. Тогда фаза в любом заданном событии в пространстве-времени будет становиться все больше и больше (0 ~ 1/Х), однако амплитуда как функция положения в пространстве-времени может оставаться фактически неизменной
'малые поправки (отклоне-
амплитуда ¦
главная часть, не зависящая от \
+
ния от геометрической оптики) , обусловленные конечностью длины волны
Это обстоятельство позволяет разложить амплитуду в ряд по степеням X 1J
амплитуда = а + Ь -f- с -j- ... .
AA А
не зависит от X — -— ~ X -— ~ 7.2
В действительности разложение проводится по степеням безразмерного числа
^/(минимальная из длин X и 31) = XlL. (22.24)
Математики называют его «двухмасштабным разложением», см., например, [219]. Базисное коротковолновое приближение имеет долгую историю, см., например, [220, 221]. Следуя предложению Дебая, Зоммерфельд и Рунге [222] применили его к уравнениям Максвелла. В квантовой механике оно известно как ВКБ приближение и имеет много других приложений, указанных в библиографии в работе [223]. Вклад членов высшего порядка рассматривали Клейн [224] и Люис [225], см. специально книгу [226].
Полезно ввести параметр е, который позволяет проследить,
как быстро различные члены стремятся к нулю (или к бесконеч-
ности) при приближении Ї/L к нулю:
All = * ((Oli + Ebll + BtCll + . . .) є*'*}. (22.25)
1J Уравнения для А линейны. Следовательно, с таким же основанном анализ можно продолжить, предположив (вместо независимости амплитуды от Я), что главный член а — hn, a b ~ }.n+i, с — X71+2 и т. д. Результаты не зависят от га. Выбирая п = 1, получаем, что напряженности поля Fiiv и плотности анергии T^v ~ F1 ~ A2Ir-2 ~ const при Jt 0.
15*
Векторный потенциал в геометрической оптике
2
228 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
Основные понятия
геометрической
оптики:
1) волновой вектор
2) скалярная амплитуда
3) вектор поляриаации
4) световые лучи
Любой член, перед которым стоит коэффициент б", изменяется как QJL)n в пределе очень малых длин волн [0 (Х/Х)'1; C11 ~ (X/L)2
и т. д.]. По условию г представляет собой немой параметр разложения, который в конце расчета полагается равным 1, поэтому когда он перестает быть полезным, его можно опустить. И по условию все «постпоправки геометрической оптики» вносятся в амплитудные члены Ь, о, . . ., а не в фазу 0.
Заметим, что, в то время как фаза 0, являющаяся функцией положения в пространстве-времени, действительна, амплитуда
и, следовательно, векторы а, Ь, с комплексны. Например, чтобы описать монохроматические волны с правой круговой поляризацией, распространяющиеся в направлении z, можно положить
0 = со (z — t) и a = HV2я (е* + ге^), где а — действительная величина, поэтому
А = * { у= а (в* + *в„) } =
= —a{cos [м (z — Olex-sin [w (z — t)\ty).
V ?
Предполагаемый вид (22.25) векторного потенциала — математическая основа геометрической оптики. Подставляя этот векторный потенциал в волновое уравнение без источников AA = О [уравнение (22.19г)] и в калибровочное условие Лоренца V-A = O [уравнение (22.19в)], получаем все основные уравнения геометрической оптики.
Эти уравнения принимают простейший вид, если только входящие в них члены выразить через следующие величины:
«волновой вектор» k =V0, (22.26а)
«скалярную амплитуду» а = (а-а)1/г= (^a11)1/2, (22.266)
«вектор поляризации» f = аIa =
= «единичный комплексный вектор, направленный вдоль а».
(22.26в)
(Здесь а —вектор, комплексно сопряженный а.) Световые лучи определяются как кривые ^(A.), нормальные к поверхностям постоянной фазы 0. Поскольку вектор k =V0 нормален к этим поверхностям, дифференциальное уравнение для светового луча имеет вид
¦^~ = ^l(x) = g^(x)Qt4(x). (22.26г)
В дополнении 22.3, посвященном исследованию этого вопроса, представлены вектор поляризации, волновой вектор, поверхности постоянной фазы и световые лучи распространяющейся волны; не представленная там скалярная амплитуда просто означает
§ 22.5. Геометрии, оптика в искривленном пространстве-времени 229
величину векторной амплитуды а. Разъяснение смысла комплексного вектора поляризации, если он не известен из электродинамики, можно найти далее в упражнении 22.12.
Это все, что касается оснований. Перейдем теперь к вычислениям. Подставим сначала векторный потенциал геометрической оптики (22.25) в калибровочное условие Лоренца:
О = А\ = * { [ j К (а» + гЬ»+ ...) + (а»+ єб*1+ ... );ц] е‘в/* } .
(22.27)
Главный член (имеющий порядок 1/е) дает
к -а = 0 (амплитуда перпендикулярна волновому
