Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В этой книге при построении моделей мы будем следовать традиции теоретической физики. Каждая часть (звезды, Вселенная, коллапс ...) будет начинаться с максимально упрощенной из всех возможных моделей, и к ней последовательно будут добавляться только те дополнительные штрихи реализма, которые необходимы для связи с наиболее простыми реальными физическими системами. В результате получится проверенный интеллектуальный каркас, готовый выдержать и правильно включить дополнительные усложнения, диктуемые более реалистичной картиной. В данной книге мы не будем пытаться подойти достаточно близко к действительности. Однако читатель, который захочет это сделать, не найдет для начала лучшей книги, чем двухтомный трактат по релятивистской астрофизике Зельдовича и Новикова [196, 238].
Начнем теперь с моделей релятивистских звезд. В качестве главного упрощения потребуем (сначала), чтобы все изучаемые звезды были статическими. Вследствие этого исключаются не только взрывающиеся и пульсирующие звезды, но даже спокойные стационарно вращающиеся звезды. Из предположений, что звезда
Кратко о содержании оставшихся частей дайной книги
I
254 23. Сферические звезды,
Статические звезды должны быть сферически симметричными
Метрика для любой статической сферической системы:
1) полученная из метрики плоского пространства-времени
статична и должна состоять из «идеальной жидкости» {не допустимы сдвиговые напряжения!) и что для нее выполняются уравнения поля Эйнштейна, вероятно, следует сферическая симметрия звезды. Однако это еще никто не доказал. (Доказательство при более ограничивающих предположениях см. в работах [239, 240].) В отсутствие доказательства мы будем считать, что все изучаемые звезды являются статическими и сферическими.
§ 23.2. КООРДИНАТЫ И МЕТРИКА СТАТИЧЕСКОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Для получения гравитационного поля статической сферической звезды или любой другой статической сферической системы начнем с метрики специальной теории относительности (в отсутствие тяготения) в сферически симметричной форме
ds'2 = -dt2 + dr2 + r2dQ2, (23.1)
где
dQ2 = d02 + Sin2BdiJ)2. (23.2)
Попытаемся модифицировать эту метрику таким образом, чтобы учесть кривизну, вызванную гравитационным влиянием звезды, но сохранить в то же время ее сферически симметричную форму. По-видимому, простейшее и наиболее очевидное действие — это придать другие значения тем метрическим коэффициентам, которые уже присутствуют в метрике (23.1):
ds2 = -e^dt2 + e2Adr2 + R2 dQ2, (23.3)
где Ф, Л и R — функции только г. (Предположение о статичности требует, чтобы OgilvIdt = 0.) Чтобы убедиться, хороша ли эта догадка, используем ее при построении звездных моделей и проверим, имеют ли получающиеся модели ту же степень общности (одинаковый набор свободно задаваемых величин), как и в ньютоновской теории и как это ожидается из общефизических соображений. Кажущаяся более общей метрика
ds2 = —a2dt2 — 2 аЪ drdt + с2 dr2 + R2 dQ2 (23.4)
в действительности не является более общей в любом физическом смысле. Можно совершить переход к новой временной координате t', определяемой соотношением
ePdt' = a dt + Ъ dr. (23.5)
Подставляя выражение (23.5) в (23.4) и определяя е2А = Ь2 -f- с2, получаем, если опустить штрих при t, постулированный выше линейный элемент (23.3) г).
1O Конечно, определить новую временную координату Ґ из уравнения (23.5) удается только тогда, когда его можно проинтегрировать как дифференциальное уравнение для t'. Выбирая интегрирующий множитель еф
§ 23.2. Координаты и метрика статической сферической системы 255
Необходимость допущения произвольных координат в общей теории относительности может показаться обременительной при формулировке теории, однако это дает дополнительную гибкость — всегда следует что-нибудь обращать в преимущество при формулировке и решении задач. Упрощение gTt = 0 (называемое координатным условием) в уравнении (23.3) вытекает из преимущественного выбора координаты t. Координата г, однако, также в нашем распоряжении (пока она выбирается таким способом, при котором учитывается сферическая симметрия; так, нельзя положить г = г + cos 0). Можно обратить эту свободу в преимущество, вводя новую координату г (г):
r' = R (г). (23.6)
При таком выборе радиальной координаты равенство (23.3) сводится (штрихи опускаем) к линейному элементу только с двумя неизвестными функциями Ф (г) и A (г):
ds2 = —е2® dt2 + e2Adr2 + г2 dQ2. (23.7)
Такая система координат и метрика использовались, начиная с пионерских работ Шварцшильда [241], Толмана [242] и Оппен-геймера и Волкова [243], в большинстве теоретических моделей релятивистских звезд. Эти особые координаты иногда называют «координатами кривизны», иногда — «шварцшильдовскими координатами». Основная идея введения этих координат заключается кратко в следующем: (шварцшильдовская координата г) = (собственная длина окружности)/2я.
Более строгое доказательство того, что в любой статической сферической системе можно ввести шварцшильдовские координаты, приводящие метрику к простой форме (23.7), CM. в дополнении 23.1.
