Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
вектору), (22.28)
или, эквивалентно,
lt«f = 0 (вектор поляризации перпендикулярен волновому вектору). (22.28')
Нарушение этого условия ортогональности постчленами геометрической оптики определяется членами высшего порядка [О (I), О (е), О (е2), . . .1, присутствующими в калибровочном условии (22.27); например, члены порядка О (1) дают
kb = iVa.
Подставим затем векторный потенциал (22.25) в волновое уравнение без источников (22.19г):
О = (Д„йА)а = - Ла; рэ + Я Vе =
— Л {(а*+ sbe-f B2Ce-I- ...) —2 (аа + е&®+ .. .);& —
_ I Ififi (аа + +...)_ (** +... )-.Рр + Д«э (аэ +...)] еіЄ/e } .
(22.29)
Соберем члены порядка 1/в* и 1/е (члены более высокого порядка, чем 1/е, определяют псевдопоправки геометрической оптики):
о(-р-) : к?Icpaa — О
-»-k-k = 0 (волновой вектор равен нулю)', (22.30)
0(f): а (Л*;, +У tv»)= о
т_0
I
vItB = — у (V - к) а (уравнение распространения
для векторной амплитуды). (22.31)
2
Вывод MBOHOB геометрической оптики
2
230 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
Основные законы
геометрической
оптики:
1) световые лучи
ЯВЛЯЮТСЯ
нулевыми
геодезическими
2) вектор поляри» мции перпендикулярен лучу я переносится параллельно лучу
Уравнения (22.30) и (22.31) совместно с уравнением (22.28) представляют собой основу, позволяющую получить все последующие результаты. В качестве первого следствия из (22.30) можно найти уравнение геодезических. Образуем градиент от к -к = 0,
0 = (*рАр);а = 2 WA3;.,
и, используя тот факт, что к$ = 0,з —градиент скаляра, переставим индексы, 0;ра = 0;аз ИЛИ
0 = №кр.а = &Р&а;0-
В результате получим
V „к = о (уравнение распространения
для волнового вектора). (22.32)
Заметим, что это уравнение геодезических! Будучи скомбинированным с уравнением (22.30), оно представляет собой утверждение, выведенное из уравнений Максвелла в искривленном пространстве-времени: световые лучи являются нулевыми геодезическими. Это первый из основных результатов геометрической оптики.
Обратимся теперь от вектора распространения k = V0 к амплитуде волны а = а\ и получим отдельные уравнения для скалярной амплитуды а и вектора поляризации f. Используя уравнение (22.31), находим
2 a dka = 2aV^a= V^a2 = Vk (а ¦ а) = а ¦ Vka +
+ a-Vka= — j (V-k) (1-а + а-а)= — azV-к;
поэтому
Зка = — -j (V ¦ к) а (уравнение распространения
для скалярной амплитуды). (22.33) Подставляя затем a = af в уравнение (22.31), получаем
O = Vk (af)+|-(V.k)af-flVkf + f[vka + Y(V-lc)a] = aVkf,
или
Vkf = 0 (уравнение распространения для
вектора поляризации). (22.34)
Это уравнение совместно с уравнением (22.28') составляет второй основной результат геометрической оптики: вектор поляризации перпендикулярен лучу и переносится параллельно лучу. Теперь можно видеть, что эти результаты, выведенные из уравнений
(22.30) Ti (22.31), совместимы с калибровочным условием (22.28). Векторы к и f, заданные в одной точке, фиксируются уравнениями распространения вдоль всего луча. Ho поскольку оба уравнения
§ 22.5. Геометрич. оптика в искривленном пространстве-времени 231
2
распространения представляют собой законы параллельного переноса, то условия k-k = 0, f -f = 1 и k -f = 0, наложенные однажды на векторы в одной точке, будут справедливы вдоль всего луча.
Уравнение (22.33) для скалярной амплитуды можно переформулировать в виде закона сохранения. Поскольку dk = (k-V), то это уравнение переписывается в виде (k-V) а2 + a2V -к = 0, или
V • (агк) = 0. (22.35)
Следовательно, вектор а2к представляет собой «сохраняющий ток»,
а интеграл j O2Wd3Iiil имеет определенное неизменное значение
для каждого 3-объема, вырезаемого данной трубкой световых лучей. (Трубка должна быть образована лучами таким образом, чтобы интеграл от а2к по стенкам трубки обращался в нуль.) Какая величина сохраняется? Оставаясь в рамках чисто классической физики, можно было бы сказать, что сохраняется «число световых лучей», и назвать а2к° «плотностью световых лучей» на гиперповерхности Z0=Const. Ho надлежащий принцип соответствия и более конкретная физическая интерпретация показывают, что предпочтительней назвать уравнение (22.35) законом сохранения числа фотонов. Это третий основной результат геометрической оптики. Число фотонов, конечно, сохраняется не всегда, это адиабатический инвариант, величина, которая не изменяется при воздействиях (например, пространственно-временной кривизны •~1/3?а), изменяющихся медленно (5? X) по сравнению с частотой фотона.
В дополнении 22.4 суммируются вышеприведенные уравнения геометрической оптики наряду с другими уравнениями, выведенными в упражнениях.
22.11. Электромагнитное поле и тензор энергии-импульса
Выведите уравнения для F, JE?, В и Т, приведенные в п. Г дополнения 22.4.
22.12. Поляризация
В событии [S50, через которое проходят волны, описываемые геометрической оптикой, введите локально лоренцеву систему отсчета с осью z вдоль направления распространения. В таком случае к = (о (в0 + в*). Поскольку вектор поляризации ортогонален к, то f = /° (во + 8z) + /1Bx + fay, а поскольку f.f = l, то
