Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
УПРАЖНЕНИЯ
2
222 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
Дополнение 22.2. ТЕРМОДИНАМИКА И ГИДРОДИНАМИКА ПРОСТОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
А. Десять величин, характеризующих жидкость
Все термодинамические потенциалы, измеренные в системе отсчета, покоящейся относительно жидкости:
п — плотность числа барионов, р — плотность полной массы-энергии, р — давление,
T — температура, s — энтропия на барион,
|л — химический потенциал на барион, и четыре компоненты 4-скорости жидкости.
Б. Десять уравнений, определяющих, движение жидкости
Два уравнения состояния
р = р{п, s), (1)
T=T(n,s), (2)
подчиняющихся условию совместности («соотношение Максвелла», которое следует из первого закона термодинамики)
(dp/ds)n = п% (дТ/дп),.
Первый закон термодинамики
dp = -?±?dn + nrds; (3)
это уравнение можно проинтегрировать и получить р {п, s).
Уравнение для химического потенциала
Ц = (р + Р)!п, (4)
которое в комбинации с р (п, s) и р (п, s) дает ц (п, s).
Закон сохранения барионов
dnjdi Sb V,n = — nV *u. (5)
Уравнение сохранения энергии вдоль линий тока, которое (в предположении отсутствия обмена энергией между соседними жидкими элементами) означает «адиабатичностъ потока»,
dsldx = 0 (в случае ударных волн dsldx ~> 0). (6)
(Ударные волны в этой книге не рассматриваются, см. [197—204].) Уравнения Эйлера (три)
(р + р) VmU= — (я + u ® u)-Vp, (7)
определяющие линии тока с касательным вектором и.
Нормировка 4-скорости
и*и = — 1. (8)
§ 22.4. Электродинамика в искривленном пространстве 223
2
§ 22.4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
В локально лоренцевой системе отсчета при наличии тяготения наблюдатель может измерить электрическое поле E и магнитное поле В, используя обычный закон движения заряженных частиц под действием силы Лоренца. Как и в специальной теории относительности, он может считать E и В компонентами тензора электромагнитного поля:
Fp = —F*S = Ej,
а плотности тока и заряда — компонентами 4-вектора Ja. Далее он может записать уравнения Максвелла и уравнение движения под действием силы Лоренца в том виде, в котором они фигурируют в специальной теории относительности:
¦ Р <*p»Y pY»<* V Ce» P
таа = ^qu ? ,
где т — масса частицы, q — заряд, Ua — 4-скорость, аа —
4-ускорение. Чтобы записать эти уравнения в произвольной системе отсчета, достаточно заменить запятые на точки с запятой
Fo- 0:э = AnJa, (22.17а)
+ ^Pv;* + ^ v*i э = 0* (22.176)
тоР- = Fa^qUft. (22.17в)
Уравнения (22.17а) — (22.17в) представляют собой основные уравнения электродинамики при наличии тяготения. И а них следует все остальное. Например, как в специальной теории относительности, так и здесь (упражнение 22.9) из них следует закон сохранения заряда
/*;в = 0, (22.18а)
а для электромагнитного поля, взаимодействующего с заряженным веществом (упражнение 22.10),— равенство нулю дивергенции от суммы тензоров энергии-импульса
;э = 0. (22.186)
Так же как в специальной теории относительности, здесь можно ввести векторный потенциал Atx. Заменяя запятые на точки с запятой в известном из специальной теории относительности выражении для F^v через 4*\ получаем
Fftv = (22.19а)
Электрическое и магнитное поля
Уравнения Максвелла в уравнение движения нод действием силы Лоренца
Сохранение
заряда
Локальное
сохранение
энергии-импульса
Векторный
потенциал
1J Предельно ясное изложение этого вопроса можно найти в книге JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [2].— Прим. ред.
2
224 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
Калибровочное условие Лоренца
Волновое уравнение для векторного потенциала
УПРАЖНЕНИЯ
Если все правильно, то выражение (22.19а) должно обеспечивать (как и в специальной теории относительности) автоматическую справедливость уравнений Максвелла (22.176). Этот факт доказан в упражнении 22.8. Чтобы получить волновое уравнение для векторного потенциала, подставим выражение (22.19а) в оставшиеся уравнения Максвелла (22.17а), тогда найдем
—= 4л/«. (22.196)
Затем переставим, используя тождество (16.6в), ковариантные производные в первом члене; в результате получим
- Аа’\ + А^'а +RailA* = AnJa. (22.196')
Наконец, применяя стандартный подход специальной теории относительности, наложим калибровочное условие Лоренца
A^iil = 0, (22.19в)
приводя тем самым волновое уравнение (22.196') к виду
(Д<irA)* * —А«*р + = 4л/«. (22.19г)
Появившийся здесь «векторный волновой оператор де Рама» Д представляет собой с точностью до злака обобщенный далам-бертиан для векторов в искривленном пространстве-времени.
С точки зрения математики он является более мощным, чем —-і4а;Р;3 и чем любой другой оператор, сводящийся к (минус) даламбертиану в специальной теории относительности. (Обсуждение см. в работе [215].)
Хотя все уравнения электродинамики (22.17а)—(22.196) получены из специальной теории относительности с помощью правила «запятая переходит в точку с запятой», при выводе волнового уравнения (22.19г) для векторного потенциала использовались члены, пропорциональные кривизне; (см. дополнение 16.1). Тем не менее в плоском пространстве-времени (Лар = 0) уравнение (22.19г) должно сводиться к обычному волновому уравнению специальной теории относительности.
