Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ходимый, чтобы линии тока были не геодезическими, а линиями з? = const), есть
?.0. (22.14,
Вычислите этот градиент давления в ньютоновском пределе, используя систему координат и метрические коэффициенты уравнения (18.15в).
22.6. Расширение, вращение и сдвиг
Пусть заданы 4-скорости и (&) жидкости.
а. Покажите, что Tu можно разложить следующим образом:
P = + OaP + 6Pap — aaU р, (22.15а)
где а — 4-ускорение жидкости
I аа sua;PuP, (22.156)
6 — «расширение» жидких мировых линий
QsT-U = иа-а, (22.15в)
Pa р — проекционный тензор
Лхр ss^ap + UeIip1 (22.15г)
0вр — тензор сдвига жидкости
CaP в 2" (Ua; цР% “Ь Up-, ц,Р*\х)-jj- OPaPi (22.1бд)
<вар — вращательная 2-форма жидкости
Wap S (ua; Ц,Р%- lip; цР^а). (22.15е)
б. Каждый член этого разложения имеет простую физическую интерпретацию в локальных системах отсчета, покоящихся относительно жидкости. Интерпретация 4-ускорения а на основе показаний акселерометра, по-видимому, хорошо известна. В упражнении 22.1 показано, что расширение 6 = T *U описывает скорость увеличения объема жидкого элемента
0 = (1/Г) (dVIdx): (22.15ж)
В упражнении 22.4 исследованы свойства проекционного тензора Р. Проверьте, что в локально лоренцевой системе отсчета
(g~? = ЛаВ, rag- =0), мгновенно сопутствующей жидкости
(иа = Sa0 ),<xgj} и сводятся к классическим (нерелятивистским) тензорам сдвига и вращения жидкости. (О классическом и релятивистском описаниях сдвига й вращения см., например, в книге [207], § 2.4 и 2.5.)
2
УПРАЖНЕНИЯ
2
220 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
УПРАЖНЕНИЯ
22.7. Гидродинамика при наличии вязкости и потока тепла 1J
а. Анализ Ъязких напряжений в классической (нерелятивистской) жидкости можно найти в § 15 книги Ландау и Лифшица [209]. Выполняя этот анализ в локально лоренцевой системе отсчета, в которой покоится релятивистская жидкость, и обобщая его затем к форме, не зависящей от системы отсчета, покажите, что вклад вязкости в тензор энергии-импульса имеет вид
р(ВЯЗК) .
— 2т]0—СЭР, (22! 16а)
где т] ^ 0 — «коэффициент динамической вязкости*, ? ^ 0 — «коэффициент объемной вязкости», о — сдвиг, 0 — расширение, P — проекционный тензор жидкости.
б. При идеализированном описании потока тепла в жидкости вводится 4-вектор потока тепла q, имеющий в локальной системе отсчета, в которой жидкость покоится, следующие компоненты:
/энергия, пересекающая в единицу\ д5 = 0, ?= (времени единичную поверхность,] (22.166)
\ перпендикулярную в j J
Переходя от анализа, выполненного в системе отсчета, в которой
жидкость покоится, к анализу на языке, не зависящем от системы
отсчета, покажите, что вклад потока тепла в тензор энергии-импульса имеет вид
Т(тепл) = и<8Ч+Ч<8и. (22.16в)
Тем самым придете к заключению, что при таком идеализированном описании тензор энергии-импульса вязкой жидкости с теплопроводностью имеет вид
= риаи^ + (р — ?0) Pa^ — 2т)ОаР + qau& + uaq$. (22.16г)
в. Пусть 4-вектор энтропии 8 определяется выражением
SH=Sresu + ЩТ. (22.16д)
Проводя вычисления в локальной системе отсчета, в которой жидкость покоится, покажите, что
(скорость увеличениях /скорость, с которой тепло\ энтропии в единице I — I и жидкость вносят энтро- J = объема / \пию в единицу объема / -
/скорость, с которой энтропия\
— (,генерируется в единице объема/’ ( )
1J Упражнение предложено Д. Стюартом.
§ 22.3. Гидродинамика в искривленном пространстве-времени 221
2
Тем самым придете к следующей форме второго закона термодинамики:
Vs>0. (22.16ж)
г. Рассчитайте локальный закон сохранения энергии U V -T = 0 ДЛЯ ВЯ8КОЙ жидкости с потоком тепла. Комбинируя его с первым законом термодинамики и законом сохранения барионов, получите
TV • S = ?02+ 2л<Та00в|} - ?* (Т,а/Т + аа). (22.16з)
Интерпретируйте каждый член этого уравнения как вклад в генерацию энтропии. (Пример: 2r\oa описывает генерацию энтропии путем вязкого нагревания.) [Замечание: Член 5®ав является релятивистским по происхождению и свяэан с инерцией потока тепла.]
д. Если принять во внимание инерцию потока тепла, то получится следующее обобщение классического закона теплопроводности [210]:
= — XPap (T1 e + Tafi). (22.16и)
Здесь х — коэффициент теплопроводности. Используя это уравнение, покажите, что для жидкости, покоящейся в стационарном гравитационном поле (упражнение 22.5),
QrO = 0, qj=(22.16к)
У —ёоо
(Следовательно, тепловое равновесие соответствует не постоянной температуре, а распределению температуры с учетом красного смещения TV — Soo — const; см. в [31], стр. 313.) Используйте также идеализированный закон теплопроводности (22.16и) для представления скорости генерации энтропии в виде
TV. S « Se2 + 2тцтаЭа«0 + (х/Т) Pais (Т,а + Tau) (Гэ + Гар)>0.
(22.16л)
(Дополнительные детали о тепловом потоке и обсуждения пределов применимости представленного выше идеализированного описания см., например, в § 4.18 книги [9], а также работы [212—214] и цитируемые в них статьи.)
