Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
О = V ¦ T = [ V (р + р) ¦ uJ и + [(р + р) V-U] u+ [(р + р) u]-Vu 4-
T
¦—дивергенция на первом отверстии
+ (Vp)-Я = [V„p + v„p + (p-l-p)V-u] U + (р + р) V„u 4-Vp. (22.10)
Особенно просто выглядит проекция уравнения (22.10) на
4-скорость (напомним, что U -VuU = -5- VuU2 = 0, поскольку у»------І):
О = и ¦ (V.'Т) = — ['VuP 4- VuP 4- (р + р)v ¦ и] + VuP =
= — VuP-(Р4-Р) V-U.
Комбинируя это уравнение с законом сохранения барионов (22.3), получаем
= (22.11а)
Уравнение (22.11а), как можно заметить, тождественно первому закону термодинамики (22.6) вдоль линии тока в предположении, что вдоль нее сохраняется энтропия на барион:
dsldx = 0. (22.116)
Этот результат неудивителен. Требование термодинамического равновесия и постоянства энтропии есть требование отсутствия теплообмена между элементами жидкости. Ho отсутствие теплообмена выявляется из тензора энергии-импульса (22.9). Любой теплообмен проявился бы в T в виде члена, связанного с потоком энергии (упражнение 22.7), однако такой член отсутствует. Следовательно, когда изучают локальный закон сохранения, вычисляя U -(V -Т) = 0, тензор энергии-импульса указывает на отсутствие потока тепла, т. е. что dsldx = 0.
Остаются три компоненты уравнения V-T = 0, ортогональные 4-скорости жидкости. Их можно получить иа V-T= 0, отсекая компоненту, направленную по и, при помощи «проекционного тензора»
P==g4-u®u (22.12)
(см. упражнение 22.4). Свертка PcV-T = O [уравнение (22.10)1 дает
(P+P)V„u = -P-(Vp) = -[Vp + (VuP) и]. 1(22.13)
Это нурйвнение Эйлера» релятивистской гидродинамики. Оно имеет точно ту же форму, как и соответствующее уравнение Эйлера
§ 22.3. Гидродинамика в искривленном пространстве-времени 217
в плоском пространстве-времени:
(22.13')
За все отклонение линий тока от геодезических ответствен гра» диейт давления, а не «тяготение».
Приведенные выше законы термодинамики и гидродинамики преобразованы и суммированы в дополнении 22.2.
2
22.1. Изменения объема, возникающие из-за расходимости упражнения линвё тока
Выведите уравнение dVldx = (V •!!) V [уравнение (22.2)] для скорости изменения объема жидкого элемента. [Указание: Выбе-
рите событие и проведите вычисление в локально лоренцевой системе отсчета в аР0, которая в данный момент движется с жидкостью («система отсчета, покоящаяся в \Решение:
В событиях вблизи P0 обычная скорость жидкости Vі = dx*/dt очень мала. Следовательно, куб жидкости в с ребрами Ax = Ay = Az = L за время bt изменит свои ребра на величину
5 (Ax) = [(dx/dt) 5l]Ba „передней поверхности"
[(dx/dt) 6Л На „задней поверхности” ~
= (OifIOx) Lbt,
6 (Ay) = (OvvIdy) Lbt, b (Az) = (OvzIOz) L bt.
Соответствующее изменение объема есть
S (AxAyAz) = (biflbx1) Lsbt,
поэтому скорость изменения объема равна
OVIdt = V (OviZdxi).
Ho в локально лоренцевой системе отсчета в событии и вблизи него (где я® = 0) метрические коэффициенты равны Irllv = +
¦+- О (I I2) и обычная скорость есть v1 = О (| я* |), поэтому
«“Is)-
2
218 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
УПРАЖНЕНИЯ
Таким образом, производные dV/dt и V (ди*Idoc1) в Si0 равны dVldt = UaBVIdsf1- = UaFa = dVldx =
= V (BviIdxi) = V (BuaIdaP) = Fu“;a = F (V -u), что и требовалось доказать.]
[Замечание: Работая в плоском пространстве-времени, можно более легко вывести, что BVlBt = dVldx и Brflds? = V-U1H заключить затем, что dVldx = (V -и) V. Чтобы перевести этот закон в искривленное пространство-время, можно использовать принцип эквивалентности.]
22.2. Уравнение непрерывности
Покажите, что в нерелятивистском пределе в плоском пространстве-времени уравнение сохранения барионов (22.3) переходит в «уравнение непрерывности»
?+??-')-0-
22.3. Химический потенциал идеального ферми-газа
Покажите, что химический потенциал идеального ферми-газа, релятивистского или нерелятивистского (при нулевой температуре), равен энергии Ферми (энергия самого высокого заполненного1 импульсного состояния) этого газа.
22.4. Проекционные тензоры
Покажите, что свертка касательного вектора В с «проекционным тензором» P =g-^-u0u проектирует В на 3-поверхность, ортогональную вектору 4-скорости и. [Указание: Выполните расчет в ортонормальной системе отсчета с во — U и запишите В = = Вав?-, затем покажите, что P -B=Bi в^.] Покажите, что если п — единичный пространственноподобный вектор, то P =д — п 0ni есть соответствующий проекционный оператор. Замечание: He существует odH03Ha4H0B0 понятия «проекция, ортогональная нулевому вектору». Почему? [Указание: Нарисуйте картины в цдоскоц пространстве-времени, опуская одно пространственное измерение.]
22.5. Градиент давления в стационарном гравитационном поле
Пусть идеальная жидкость покоится (линии тока имеют xi = const) в стационарном гравитационном поле (метрические коэффициенты не зависят от а:0). Покажите, что градиент давления, необходимый для «поддержания жидкости под действием тйготения» (т. е. необ-
§ 22.3. Гидродинамика в искривленном пространстве-времени 219
