Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Химический потенциал ц — также однозначная функция га и s. Он определяется следующим образом.
1. Возьмите порцию простой жидкости в заданном термодинамическом состоянии (заданы га и s).
2. Отдельно возьмите намного меньшую порцию той же жидкости, содержащую 6Л барионов и находящуюся в том же термодинамическом состоянии, что и большая порция (те же п и s).
3. Инжектируйте меньшую порцию в большую, удерживая в процессе инжекции фиксированным объем большой порции.
4. Полная инжектируемая масса-энергия,
Расчет давления н температуры по заданной функции р(п, s)
Соотношение
Максвелла
Химический потенциал равен «энергии инжекции» при фиксированном полном объеме к фиксированной энтропии на барион
дЛіГИНЖекТирувмая = P X (объем ИНЖвКТИрувМОЙ ЖИДКОСТИ) = р (ЬА/п),
2
214 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
плюс работа, необходимая для осуществления инжекции,
/работа, выполненная против сил давленияЛ
S Wrинжекции = I большой порции, для обеспечения в ней! =
Vместа инжектируемой жидкости /
= р (объем инжектируемой жидкости) = р ifiA/n),
равны цбЛ:
Р&А “ ^-^инжектируемая “Ь ^^инжекции = 6-<4.
Сформулируем более кратко:
(полная масса-энергия на барион, требуемая для\ «создания» и инжектирования дополнительного 1 малого количества жидкости в данную порцию I = жидкости без изменения ее s или объема /
tJMIr).- <22-8>
t
— согласно первому закону термодинамики (22.6)
Все вышеприведенные законы и уравнения термодинамики одинаковы в искривленном пространстве-времени и в плоском пространстве-времени, в (релятивистском) плоском пространстве-времени и в классической нерелятивистской термодинамике, за исключением того, что в р и р, добавляется масса покоя и все другие формы массы-энергии. Причина этого проста: все законы формулируются в виде скалярных уравнений, связывающих термодинамические переменные, которые измеряются в системе отсчета, покоящейся относительно жидкости.
Дополнение 22.1. ГЛАВНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ВЫБОРА «ПЕРВИЧНОГО ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА» ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЖИДКОСТИ
Первичный термодинамический «Вторичные» термодинамические ве- Наиболее удобные, целе-
потенциал и величины, кото- личины, полученные путем диффе- сообразные и уместные
рые наиболее целесообразно ренцирования первичных величин с условия
рассматривать в качестве его использованием или без использова-
аргументов ния формулы
«Плотность», полное количество массы-анергии (покоя + + тепловой+...) на единицу объема
р = р (и, s)
Р(п, ,) = „(|L)g_p
T (п, і) = —
п \ Os )п
Р + Р / др \
Условия адиабатичности потока (отсутствие ударных волн или теплопроводности). т. е. постоянство s вдоль линии тока
§ 22.3. Гидродинамика в искривленном пространстве-времени 215
2
«Физическая свободная энергия»
с(п, D = -Z--Ts
р К Т) — пх (Ji)r •к
Знание или возможность вычислить а (или «статистическую сумму») как функцию удельного объема на барион и температуры
«Химическая свободная энер- 1 /п(р, Т) = (дЦдр)т ГИЯ* s(p, T)=-(д{/дТ)}
f(p,T) = -^--Ts
п р (р, Т).
}-T(df/dT)p
(Olldp)1
Уместные для определения равновесия по заданным температуре и давлению
«Химический потенциал» («энергия инжбкции» на барион)
*<!>.
1 /п(р, S) = (OnIdp)s
Т(р, s) = (3|i/Ss)p P (P. S)=--------—-----
(dii/dp)s
В центре внимания находится энергия инжек-ции (= ферми-энергия для идеального релятивистского или нереляти-вистского ферми-газа, см. упражнение 22.3)
§ 22.3. ГИДРОДИНАМИКА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 1J
Рассмотрим течение простой идеальной жидкости в пространстве-времени. Это. может быть атмосфера Земли, циркулирующая в гравитационном пола Земли, или.внутренняя газовая область Солнца, покоящаяся в собственном гравитационном поле, или межзвездный газ, аккрецирующий на черную дыру. Ho что бы ни представляла собой жидкость и где бы она ни находилась, ее движение будет определяться законами термодинамики в искривленном пространстве-времени (§ 22.2) и локальным законом сохранения энергии-импульса V-T=O. Главная цель данного параграфа — привести уравнение V-T = O к удобной для приложений .форме. Здесь это будет выполнено в абстрактных обозна-1 чениях; читателю предлагается повторить приведение, в индексных обозначениях.
Тензор энергии-импульса идеальной жидкости в искривленном пространстве-времени имеет такой же вид, как и в плоском (принцип эквивалентности!):
т = (р+р) u ® u + pg
(22.9)
Законы гидродинамики для простой жидкости в отсутствие потока тепла или вязкости:
1) происхождение законов
Более детальные рассмотрения этого предмета можно найти, напри-Hep,' в работах [202, 205—208] и в литературе,' приведенной-там; см. Tflktefe работы по кинетической теории, указанные в начале22.6.
2
216 22. Термодинамика, гидродинамика, электродинамика
2) адиабатич-ность потока — следствие локального закона сохранения энергии
3) уравнение Эйлера
(см. § 5.5). Его дивергенцию легко вычислить, если воспользоваться цепным правилом, «соотношением совместности между g и V», т. е. ¦= 0,то ждеством (Тр)'В =Vp (которое легко проверяется в индексных обозначениях) и формулой
