Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
где U= d/dr — 4-скорость жидкости. Поэтому закон сохранения барионов [уравнение (22.1)] можно переписать в виде
0=? + -f ^ = vBi» + n(V-u) = U-Vn+»(V.U) = v.(».'ii),
Т‘ Є' V-S = O, (22.3)
S= ШІ= вектор барионного тока (22.4)
(см. § 5.4 и упражнение 5.3). Более того, этот абстрактный вариант геометрического закона должен быть равным образом справедлив как в искривленном пространстве-времени, так и в плоском (принцип эквивалентности).
Отметим аналогию с законом сохранения заряда V-J=O в электродинамике (упражнение 3.16) и локальным законом сохранения энергии-импульса V-T= 0 (§ 5.9 и 16.2). В очень глубо-
ком смысле формы этих трех законов диктуются теоремой Гаусса (§ 5.9 и дополнения 5.3, 5.4).
Второй закон термодинамики утверждает, что в плоском или искривленном пространстве-времени энтропия может порождаться, но не исчезать. Применим этот закон к жидкому элементу объема V, содержащему фиксированное число барионов N. В нем имеется энтропия
S = Ns = nsV.
Энтропия может втекать и вытекать через поверхность, ограничивающую жидкий элемент («тепловой поток» между соседними жидкими элементами), однадо для простоты мы предположим, чтб этот поток равен нулю или достаточно мал и не Указывает сколько-нибудь существенного влияния на рассматриваемую проблему.
Закон
сохранения
барионов
Второй закон термодинамики
14*
2
212 ?2’ Термодинамика, гидродинамика, электродинамика,
Ударные водны и поток тепла
Первый закон -термодинамики
Тогда энтропия жидкого элемента может только возрастать:
d (nsV)/dx >- 0, если обмен энтропией между соседними жидкими элементами пренебрежимо мал,
т. е. [комбинируем это с уравнением (22.1)]
ds/dx 0 (в отсутствие обмена энтропией). (22.5)
До тех пор пока жидкий элемент остается в термодинамическом равновесии, его энтропия будет действительно сохраняться [«=» в уравнении (22.5)], но в ударной волне, где равновесие кратковременно нарушается, энтропия будет увеличиваться (превращение «относительной кинетической энергии» соседних жидких элементов в тепло). (Обсуждения, касающиеся потока тепла в специальной и общей теории относительности, CM. в упражнении 22.7. Обсуждение ударных волн см. в работах [197—204].)
Первый закон термодинамики в собственной системе отсчета жидкого элемента тождествен первому закону в плоском пространстве-времени («принцип эквивалентности»), а в плоском пространстве-времени первый закон есть просто закон сохранения энергии:
/ энергия в элементе \
d I объема, содержащем данное J= —pd (объем) +Td (энтропия),
\ число А барионов /
т. е.
d (рА/п) = —pd (AIn) 4- Td (Ля),
или
dp = dn + nT ds.
Вопрос'. Какого рода «d» появилось здесь? Для простой жидкости значения двух потенциалов, например п и s, однозначно определяют все другие величины, поэтому любое изменение P должно однозначно определяться изменениями п и s. Причем не имеет значения, измерены ли эти изменения вдоль мировой линии данного жидкого элемента или в некотором другом направлении. Поэтому «d» в первом законе можно интерпретировать как внешнюю производную
dp = in + nT ds, (22.6)
а изменения вдоль заданного направления в жидкости (вдоль заданного касательного вектора v) можно записать в виде
VTp = (dp, v) — (dn, V) + пТ <ds, v) = -)- nTV^s.
Уравнение (22.6) можно интерпретировать двояко: как способ вывести плотность массы-энергии среды, зная давление (как функцию п и s) и температуру (как функцию п и s), и как способ
§ 22.2. Термодинамика в искривленном пространстве-времени 213
2
вывести две функции р (п, s) и T (и, s) из одной функции р (п, s). Естественно рассмотреть вначале второй способ, ибо кто не любит стратегию, дающую интеллектуальную выгоду? Рассматривая р как известную (или вычисляемую)функцию пи S1 из (22.6) получаем
Р+Р_ / др \ п ' \ Sn Is '
¦М*).
и, следовательно, давление и температуру в отдельности
р(п, Sj = Ii(A)i-р, (22.7а)
(22Лб>
(«два уравнения состояния из одного»). Анализ дополнительно упрощается, если жидкость, уже имеющая по предположению повсюду одинаковый состав, обладает также повсюду одинаковой энтропией на барион s и совершает адиабатическое течение (т. е. ударные волны или теплопроводность отсутствуют). В таком случае плотность р = р (га, s) сводится к функции от одной переменной, из которой выводится все необходимое (р, р, |л) для гидродинамики и гравитационной физики системы (см. следующую главу). При иных обстоятельствах подходящим оказывается другой выбор «первичного термодинамического потенциала» (см. дополнение 22.1).
Хотя дифференцирование ведет от р (п, s) к р (п, s) и T (п, s), отсюда не следует, что можно взять две любые функции р (п, я) и T (re, s) и «обратным ходом» (путем интегрирования) прийти к «первичной функции» р (re, s). Чтобы быть совместимыми с первым законом термодинамики (22.6), две функции должны удовлетворять требованию совместности [«соотношение Максвелла», равенство вторых частных производных от р]
(Bplds)n = п2 (дТ/дп)8. (22.7в)
