Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Распространение разрыва тензора кривизны со скоростью света — это напоминание о том, что все гравитационные эффекты, подобно всем электромагнитным эффектам, подчиняются закону причинности. Начальные данные на пространственноподобной начальной гиперповерхности однозначно определяют результирующую геометрию пространства-времени (см. работы Картана, Стельмахера, Лихнеровича и Брюа (известной также под именами Фуре-Брюа и Шоке-Брюа) и другие, приведенные в статье Брюа [162], но это определение лишь до некоторой степени совместимо с причинностью. Так, изменение этих данных в ограниченной области начальной 3-геометрии чувствуется на более поздней гиперповерхности только в области, которая тоже ограничена и лишь немного превышает исходную область.
Если перейти от классической динамики к квантовой, то появится новая причина сосредоточить внимание на пространственноподобной начальной гиперповерхности: наблюдаемые в различных точках такой гиперповерхности коммутируют друг с другом, т. е. в принципе одновременно измеримы.
§ 21.13. Условия сшивания 207
2
He каждое четырехмерное многообразие допускает глобальную несингулярную пространственноподобную гиперповерхность. Можно полагать, что те многообразия, которые допускают такую гиперповерхность, имеют большее отношение к физике, чем те. в которых не может существовать такая гиперповерхность.
Даже в многообразии, допускающем пространственноподобную гиперповерхность, следует иногда уделять внимание (в классической теории) начальным данным на гиперповерхности, являющейся не пространственноподобной, а «характеристической» в том смысле, что она вмещает нулевые геодезические (см., например, [25] и приведенную там литературу). Для таких ситуаций типично то, что можно предсказать будущее, но не прошлое, или предсказать прошлое, но не будущее.
Детл света и дети тьмы — предвидение физики, которое появляется из этой главы и других разделов физики. Дети света — это дифференциальные уравнения, которые предсказывают будущее на основе прошлого. Дети тьмы — это факторы, которые задают нечальные условия.
21.25. Уравнение движения для поверхностного слоя
а. Пусть и — «средняя 4-скорость» вещества в поверхностном слое, определенная таким образом, что наблюдатель, движущийся с 4-скоростью и, фиксирует нулевой поток энергии. Пусть а — полная масса-энергия на единицу собственной площади поверхности, измеренная таким «сопутствующим наблюдателем». Покажите, что поверхностный тензор энергии-импульса можно выразить в виде
S = (iu®u + t, причем (t<и) = 0, (21.171)
где t — симметричный тензор напряжений.
б. Покажите, что проекция уравнения движения (21.170) на и равна
da/dт= —crii^i J- + UjtikIk + uS \Tin]% (21.172)
где dldx = и. Дайте физическую интерпретацию каждому члену.
в. Пусть aj — та часть 4-ускорения наблюдателя, которая лежит в поверхностном слое 2. Проектируя уравнение движения (21.170) на направление, перпендикулярное и, покажите, что
«ха,*= -Pia {ta\b + [Tan]), (21.173)
где Pja — проекционный оператор
Pia = Sia + UjUa. (21.174)
Дайте физическую интерпретацию каждому члену уравнения (21.173).
УПРАЖНЕНИЯ
2
208 21. Вариационный принцип и начальные данные
УПРАЖНЕНИЯ
21.26. Тонкие оболочки пыли
Для тонкой оболочки пыли, окруженной вакуумом (\Т1п\ = О, і = 0), выведите следующие уравнения:
da/dx = —оиьь, (21.175а)
а+ + а- = 0, (21.1756)
а*— а" = (4я<т) п, (21.175в)
у = 8яа (и <8 и+-^д). (21.175г)
Здесь а + и а- — 4-ускорения, измеренные акселерометрами, которые прикреплены к внутренней и внешней сторонам оболочки, а g — 3-метрика оболочки. Покажите, что первое из этих уравнений представляет собой закон «сохранения массы покоя».
21.27. Сферическая оболочка пыли
Примените формализм упражнения 21.25 к коллапсирующей сферической пылевой оболочке [192]. Для метрики внутри и вне оболочки используйте метрику плоского пространства-времени и вакуумное решение Шварцшильда (гл. 23):
ds2 = — dt2 + dr2 + г2 (d№ + sin2 0 d<f>2) внутри, (21.176a)
ds2= — (I — ) dt2 + t_^2Mjr + r2 (d02 + sin2СДРУЖИ-
(21.1766)
Пусть «радиус» оболочки как функция собственного времени, измеренного в оболочке, равен
Л
R з= х (собственная длина окружности оболочки) = R (т).
(21.176в)
Покажите, что масса оболочки изменяется со временем как
а (т) = ц/4nR2 (т), p. = const = «полная масса покоя».
(21.176г)
Выведите и решите уравнение движения
"-!‘{‘+(-S-fr-TST' <2,і76д>
22. ТЕРМОДИНАМИКА, ГИДРОДИНАМИКА, ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Эта глава полностью относится к курсу 2. Перед чтением ее не нужно изучать какой-либо изложенный ранее материал из курса 2, но знакомство с гл. 5 (тензор энергии-импульса) будет полезным.
S 22.5 (геометрическая оптика) необходим как подготовительный материал к гл. 34 (сингулярности и глобальные методы). Остальная часть главы не является необходимым подготовительным материалом к какой-либо из последующих глав, но знакомство с ней будет чрезвычайно полезным во многих приложениях теории тяготения (гл. 23—40).
