Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
1J Первоначальная формулировка гравитационных условий сшивания восходит к Ланцошу [181, 182]. Приведенная здесь их формулировка в функции внутренней и внешней кривизн развита Дармуа [ 183], Мизнером и Шарпом [184] и Израилем [140]. Дополнительные ссылки на обширную литературу можно найти в работе Израиля [140].
2
204 21. Вариационный принцип и начальные данные
= 0)
ФИГ. 21.6.
Гауссовы нормальные координаты в окрестности 3-поверхности 2. Метрика в гауссовых нормальных координатах имеет вид
= (п -П)-1 йпг + gijdx'dxi,
где п — д/дп, (n -11)=-1, если поверхность пространственноподобна, и (п *п) = 1, если поверхность времешгаодобна. (Cm. упражнения 27.2.)
1
Внешняя кривизна поверхностей п = const равна Кц = — — OgiiIdn. Уравнения (21.162) представляют собой уравнения поля Эйнштейна, записанные в«3+ 1*-мерной форме.
Поверхностный тензор энергии* импульса
Вы под условий сшивания
ности с конечным 4-импульсом на единицу площади (аналог поверхностного заряда и поверхностного тока в электродинамике). Определим тогда поверхностный тензор энергии-импульса на 2 как интеграл от Тар, взятый по собственному расстоянию (п), измеренному перпендикулярно 2:
+8
5“э = Iim[ j Te*А»]. (21.163)
е-»-0 _ е
Чтобы надти влияние этого поверхностного слоя на геометрию пространства-времени, проинтегрируем по «биллиардной коробке» уравнение поля Эйнштейна (21.162)
+е
JimT ( GVnl =8nS°V е-*о lJ J
(21.164)
Рассмотрим интеграл от Ga Если бы 3-метрика gtj содержала дельта-функцни или разрыв 3-поверхности 2, то 3-поверхность 2 не имела бы какой-либо полностью определенной 3-геометрии, что даже в присутствии поверхностных слоев представляется физически неприемлемой ситуацией. Отсутствие дельта-функцпй S (п) в gtj означает отсутствие дельта-фуикпий в (3)/?; отсутствие разры-
§ 21.13. Условия сшивания 205
2
Л
вов в gu означает отсутствие дельта-функций в Kij = — у gtj,n. Поэтому после интегрирования уравнения (21.162) гласят
j Gnn dn = 0 = 8лSnn, (21.165а)
j GnJdre = O = 8nSnt, (21.1656)
j GiJ dn = (n • п) (Vі/ — Si^ Sp у) = SnSij, (21.165b)
где Yi; — «скачок» компонент внешней кривизны
Y=IK] = (К на «п = + е стороне» 2) —
— (К на «п = — е стороне» 2) = K+ — К-. (21.166)
В отсутствие дельта-функционального поверхностного слоя вышеприведенные условия сшивания означают просто, что
Y = IK] = 0, т. е. при исследовании погружений 3-поверхности 2 в пространство-время, расположенное выше ее «верхней» поверхности, и в пространство-время, расположенное ниже ее «нижней» поверхности, необходимо получить тождественные погружения, т. е. тождественные внешние кривизны К. Конечно, и внутренняя кривизна гиперповерхности 2 должна быть одинаковой независимо от того, рассматривается ли 2 сверху или снизу. Более кратко это можно сформулировать так:
(отсутствие поверхностных слоев) ч=ь («непрерывность» gij И Ku).
(21.167)
Если присутствует поверхностный слой, то 3-поверхность 2 должна быть мировой трубкой двумерного слоя материи, а нормаль к 2 должна быть пространственноподобной (п-п) = + 1. Условия сшивания (21.165а) и (21.1656) имеют в таком случае простой физический смысл
(поток импульса полностью заключен в 2, т. е. импульс, связанный с поверхностным слоем а .
не вытекает из 2, иначе говоря, |’ ^ '
2 является мировой трубкой поверхностного слоя
но отсюда ничего, новото ие следует. Условие сшивания (21.165в) гласит, что поверхностный тензор энергии-импульса генерирует разрыв внепшей крививны {различное догружение в пространство-время «выше» и «ниже» 2), описываемый выражением
Условия сшивании в отсутствие аоверхиостиых слоев
Условия сшивания ири наличия поверхностного слоя
Yi; — 6} Sp Y = SnS'j.
<21.1686)
2
206 21. Вариационный принцип и начальные данные
Уравнение движения для поверхностного слоя
Фронт ударных гравитационных волн
Конечно, внутренняя геометрия 2 должна быть одинаковой сверху и снизу:
3-метрика gtJ непрерывна при переходе черев 2. (21.169)
При анализе поверхностных слоев используются не только условия сшивания (21.168а) — (21.169), но также и четырехмерное уравнение поля Эйнштейна, применяемое на каждой стороне поверхности 2 в отдельности, и уравнение движения для поверхностного тензора энергии-импульса. Уравнение движения выводится путем рассмотрения скачка уравнения поля Gn1- = 8ItTni [уравнение (21.1626)]. Так [Cr* ] = 8л [Tni] означает:
CYim-8imsP Y)im= — 8л [Tmj];
выражая далее это равенство через S™ с помощью условия сшивания (21.1686), получаем
Simim +[Тіп]=0. (21.170)
(Для более глубокого понимания уравнения движения см. упражнения 21.25 и 21.26. Приложения «формализма поверхностного слоя» см. в упражнении 21.27, а также в работах [140, 185, 186].)
Рассмотрение условий сшивания через нулевую поверхность 2 приводит к результатам, отличным от результатов для случаев пространственноподобной и времениподобной поверхностей. Интегрирование уравнений поля по «биллиардной коробке» показывает, что даже в вакууме внешняя кривизна может быть разрывной. Разрыв Kij при переходе через нулевую поверхность, не созданный какими-либо напряжениями, представляет собой геометрическое проявление фронта ударных гравитационных волн (аналог фронта ударных волн в гидродинамике). Количественные детали см., например, в [187—190] и особенно в [191].
