Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
По нашему мнению, принцип Маха в той виде, как его понимали Мах и Эйнштейн, не содержится в общей теории' относительности.— Прим. ред.
§ 21.12. Принцип Маха и происхождение инерции 201
2
определения дополнительных деталей тензора Римана. Покажите, что тензор Вейля, являющийся re-мерной модификацией равенства (13.50) и тензора из упражнения 13.13, равен нулю для п = 2.
21.22. Кривизна Йорка [160]
а. Определите тензор [11]
Rabc — ^abic ^ac|Ь "I" ~ (gacR\b~~gabR\c)°
б. Покажите, что 3-геометрия является конформно плоской тогда и только тогда, когда Rabc = 0.
в. Покажите, что справедливы следующие тождества, которые сводят Rabc к пяти независимым компонентам:
Я“«с = gab Rbac = 0;
Rabc “Н Racb ~
Rabc + Rcab + Rbca — 0.
г. Покажите, что кривизна Йорка
Y°b = g'/*[aef] (Rbf -±бь,й){= -±g4s[aef] gbmRmef конформно инвариантна и обладает свойствами (21.148).
21.23. «Вытягивание вектора Пойнтинга из воздуха»
Из условия, что функционал Гамильтона — Якоби S (gu, Am) (экстремаль интеграла действия) для комбинированных полей Эйнштейна и Максвелла, явно зависящий от 6 метрических коэффициентов gu (х, у, г) и 3 потенциалов Am (х, у, z), должен в дей-
ствительности зависеть только от 3-геометрии на пространственноподобной гиперповерхности и распределения магнитного поля на этой гиперповерхности, покажите, что геометродинамический импульс поля ліз = bS/bgtj удовлетворяет условию вида
Я«(і = с [imn] $mWn>
и вычислите коэффициент с в этом равенстве [148]. Указание'. Заметьте, что преобразование
Xi-^-Xi — Iі, gij -*-gij -(- -f- 5лі
никак не изменяет саму 3-геометрию, а потому соответствующее индуцированное изменение S,
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
Условия ставання в ¦электродинамике
202 21. Вариационный принцип и начальные данные
должно тождественно обращаться в нуль для произвольно выбранного вектора Iі (х, у, г).
21.24. Экстремальное действие, связанное с принципом действия Гильберта, зависящее от конформной 3-геометрии и внешнего времени [112]
Покажите, что, согласно принципу действия Гильберта S j {i)R (—<*> g)4id*x = 0, на каждой из двух граничных пространственноподобных поверхностях требуется знать 1) конформную 3-геометрию <8) < гиперповерхности и 2) переменную внешнего времени, определяемую как
T= -§-?-1/2 Sp я = -J- Sp К,
условно представляемую в виде пиктограммы w, характеризуемую в каждой точке пространства одним числом и не зависящую от конформного множителя 3-геометрии. Показав это, объясните в нескольких словах, почему в такой формулировке геометродинамики функция Гамильтона — Якоби (фаза волновой функции в полуклассическом или ВКБ приближении, умноженная на К) выражается в виде
S- S((3)<,W).
§ 21.13. УСЛОВИЯ СШИВАНИЯ
Внутренняя и внешняя кривизны гиперповерхности, играющие фундаментальную роль в формализме начальных данных, являются также мощным средством анализа «условий сшивания».
Напомним условия сшивания в электродинамике: при переходе через любую поверхность (например, пластину конденсатора] тангенциальная часть электрического поля _Ец и нормальная часть магнитного поля Bi должны быть непрерывными, таким образом,
[Яц] s (разрыв -Я,,) =
= (_Ец на поверхности, заряженной положительно) —
— (-Eu на поверхности, заряженной отрицательно) г H^It--En = O, (21.161а
§ 21.13. Условия сшивания 203
2
[BjJ==Bi-BI = O1 (21.1616)
в то время как «скачки» El и Вц должны быть связаны с плотностью заряда о (заряд на единицу площади), плотностью тока j (ток на единицу площади) и единичной нормалью к поверхности п формулами
[E1] = Ei-Ei=Anon, (21.161в)
[BnJ=Bj1I — B\i = Anj х п. (21.161г)
Напомним, что эти условия сшивания выводятся путем интегрирования уравнений Максвелла по «биллиардной коробке», охва-
тывающей поверхность.
Аналогичные условия сшивания, которые можно вывести таким же способом, имеют место и для гравитационного поля (кривизны пространства-времени) и для напряжений, генерирующих гравитационное поле *). Сосредоточим внимание на конкретном •трехмерном сечении пространства-времени — 3-поверхности 2, изображенной на фиг. 21.6. Поверхность может быть пространственноподобна [единичная нормаль п времениподобна; (п-п) = — H или времениподобна [единичная нормаль п пространственноподобна; (п-п) = + 1]. Нулевой случай будет обсуждаться позже.
Для облегчения вывода условий сшивания введем в окрестности 2 гауссовы нормальные координаты [см. абзац, предшествующий уравнению (21.82)].
Тензор Эйнштейна и уравнение поля Эйнштейна, выраженные Уравнение
у „ „ O Vi - Эйнштейна
В фуНКЦИИ Внутренней И ВНЄШНЄИ КРИВИЗНЫ О-ПОВерхНОСТИ Zi И в форме «3 + 1»
близких 3-поверхностей п = const, имеют компоненты
Onn=- -Ьз’Я +-і (п¦ Hr1KSpK)2-Sp(К2)} = 8лГ\, (21.162а)
Oni = -(п-п)"1 (8рК)|г} = 8яГ"г, (21.1626)
Oij = WGij + (п • пГ1 {(Kij - бiJ Sp К). „ -
- (Sp К) KiJ + ± 61J (Sp К)2 + І- SiJ Sp (К2)} = SnTi1. (21.162В)
Юм. уравнения (21.77) и (21.81), (21.76) и (21.82).]
Предположим, что тензор энергии-импульса Taр имеет на 3-по-верхности 2 «дельта-функциональную сингулярность», т. е. предположим, что 2 является «мировой трубкой» двумерной поверх-
